Lógica Para Computação

September 13, 2017 | Author: Brutos Steiger | Category: Argument, Logic, Set (Mathematics), Logical Expressions, Truth
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LOGICA CURSO ADS...

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LÓGICA PARA COMPUTAÇÃO

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

GRADUAÇÃO

Unicesumar

Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de EAD Willian Victor Kendrick de Matos Silva Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD - Núcleo de Educação a Distância Direção Operacional de Ensino Kátia Coelho Direção de Planejamento de Ensino Fabrício Lazilha Direção de Operações Chrystiano Mincoff Direção de Mercado Hilton Pereira Direção de Polos Próprios James Prestes Direção de Desenvolvimento Dayane Almeida Direção de Relacionamento Alessandra Baron Gerência de Produção de Conteúdo Juliano de Souza Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de Almeida Toledo Coordenador de conteúdo Fabiana de Lima Design Educacional Paulo Victor Souza e Silva

C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância; GODOY, Edvania Gimenes de Oliveira. Lógica para Computação. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 183 p. “Graduação - EaD”. 1. Lógica 2. Computação . 3. Matemática 4. EaD. I. Título. ISBN 978-85-459-0245-4 CDD - 22 ed. 511.3 CIP - NBR 12899 - AACR/2

Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828

Iconografia Amanda Peçanha dos Santos Ana Carolina Martins Prado Projeto Gráfico Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho Arte Capa André Morais de Freitas Editoração Bruna Marconato Daniel Fuverki Hey Revisão Textual Keren Pardini

Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderança e solução de problemas com eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho. Cada um de nós tem uma grande responsabilidade: as escolhas que fizermos por nós e pelos nossos farão grande diferença no futuro. Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros. No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária” –, o Centro Universitário Cesumar busca a integração do ensino-pesquisa-extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que contribua para o desenvolvimento da consciência social e política e, por fim, a democratização do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade. Diante disso, o Centro Universitário Cesumar almeja ser reconhecido como uma instituição universitária de referência regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisição de competências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; consolidação da extensão universitária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância; bem-estar e satisfação da comunidade interna; qualidade da gestão acadêmica e administrativa; compromisso social de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivando a educação continuada.

Diretoria de Planejamento de Ensino

Diretoria Operacional de Ensino

Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um processo de transformação, pois quando investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente, transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo. O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”. Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontram-se integrados à proposta pedagógica, contribuindo no processo educacional, complementando sua formação profissional, desenvolvendo competências e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal objetivo “provocar uma aproximação entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional. Portanto, nossa distância nesse processo de crescimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das discussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica.

AUTORA

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy Possui mestrado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2001). Atualmente é professora assistente da Fundação Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Mandaguari.

APRESENTAÇÃO

˜ APRESENTAC ¸ AO LÓGICA PARA COMPUTAÇÃO

´ ˜ LOGICA PARA COMPUTAC ¸ AO

SEJA BEM-VINDO(A)!

Prezados acadˆemicos, ´e com satisfa¸ca˜o que apresento a vocˆes o livro para a disciplina L´ogica para Computa¸ca˜o. Esta disciplina est´a baseada no que chamamos de Matem´atica Discreta, que ´e uma parte da Matem´atica que trata de situa¸co˜es em que as estruturas matem´aticas s˜ao baseadas em conjuntos cont´aveis, finitos ou infinitos. Dessa forma, os conte´ udos abordados na Matem´atica Discreta aplicam-se perfeitamente ao ambiente computacional, visto que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao dom´ınio discreto. Os objetivos principais da disciplina s˜ao desenvolver o racioc´ınio l´ogico-matem´atico e oferecer instrumentos para que vocˆes desenvolvam um vocabul´ario preciso, com recursos para nota¸c˜ao matem´atica e abstra¸co˜es. Assim, ser´a poss´ıvel aplicar os conceitos de Matem´atica discreta como uma ferramenta para investiga¸co˜es e aplica¸co˜es na a´rea de Computa¸ca˜o. Este livro est´a dividido em cinco unidades. A primeira trata de no¸co˜es de L´ogica Matem´atica, que ´e b´asica para qualquer estudo em computa¸ca˜o e inform´atica. O principal objetivo dessa unidade ser´a introduzir, resumidamente, os principais conceitos e a terminologia de l´ogica matem´atica. Veremos como utilizar a nota¸c˜ao simb´olica para as l´ogicas proposicional e de predicados para simbolizar argumentos, bem como determinar sua validade por meio das regras de inferˆencia. A segunda unidade ´e dedicada ao estudo da Teoria dos Conjuntos. O conceito de conjunto ´e fundamental, pois praticamente todos os conceitos desenvolvidos em computa¸ca˜o s˜ao baseados em conjuntos ou constru¸co˜es sobre conjuntos. Com as no¸co˜es primitivas de conjunto e pertinˆencia, que s˜ao aceitas sem defini¸ca˜o, iniciaremos o estudo de conjuntos definindo elementos, subconjuntos e tipos de conjuntos, bem como suas representa¸c˜oes por descri¸ca˜o, propriedade ou diagrama. Em seguida, estudaremos as opera¸co˜es sobre conjuntos, que s˜ao agrupadas em n˜ao revers´ıveis (uni˜ao e interse¸c˜ao) e revers´ıveis (complemento, conjunto das partes e produto cartesiano). Ser´a estabelecida tamb´em a rela¸ca˜o entre ´algebra de conjuntos e l´ogica. As unidades III e IV s˜ao dedicadas ao estudo de rela¸co˜es e fun¸c˜oes, respectivamente. Rela¸co˜es s˜ao muito usadas em todas as ´areas te´oricas e pr´aticas da computa¸ca˜o. Al´em do conceito formal de rela¸ca˜o, diversos conceitos correlatos ser˜ao estudados: rela¸ca˜o dual, composi¸ca˜o de rela¸co˜es e tipos de rela¸co˜es. Veremos como representar rela¸co˜es por meio de diagramas, matrizes ou grafos, e para o caso de uma ordem parcial de tarefas relacionadas por pr´e-requisitos, discutiremos sobre a representa¸c˜ao em diagrama PERT.

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APRESENTAÇÃO

Uma fun¸c˜ao ´e um caso particular de rela¸c˜ao bin´aria e, assim como as rela¸c˜oes, descreve diversas situa¸co˜es reais. Abordaremos o conceito de fun¸ca˜o, destacando seu dom´ınio, imagem e representa¸ca˜o gr´afica, bem como as propriedades de fun¸co˜es e as defini¸co˜es de fun¸c˜oes compostas e inversas. Por fim, na unidade V, faremos uma retomada das unidades anteriores apresentando aplica¸c˜oes na ´area de Computa¸ca˜o. Sobre l´ogica proposicional e teoria dos conjuntos, veremos aplica¸co˜es em linguagens de programa¸ca˜o conhecidas como procedurais (no caso, linguagem Pascal). Sobre l´ogica de predicados, apresentaremos uma linguagem de programa¸c˜ao conhecida como declarativa (Prolog), em que os programas re´ unem uma s´erie de dados e regras e as usam para gerar conclus˜oes. O item Rela¸co˜es ser´a retomado no estudo de caminho cr´ıtico em um diagrama Pert, para determinar o tempo m´ınimo de conclus˜ao de uma sequˆencia de atividades ordenadas em uma tarefa a ser realizada. Tamb´em em bancos de dados relacional, que ´e um banco de dados cujos dados s˜ao conjuntos (representados como tabelas) que s˜ao relacionados com outros conjuntos (tabelas), veremos a aplica¸c˜ao dos conceitos de conjuntos e rela¸co˜es. E, finalmente, ser´a destacada a aplica¸ca˜o dos conceitos de rela¸c˜oes e fun¸c˜oes em autˆomatos finitos. Gostaria de destacar que n˜ao pretendemos realizar estudo detalhado de conceitos espec´ıficos de computa¸c˜ao, mas apenas dar uma no¸c˜ao sobre a forte rela¸c˜ao entre a matem´atica estudada com outras disciplinas do curso. Em cada unidade, s˜ao propostas atividades sobre o conte´ udo estudado. A realiza¸ca˜o dessas atividades ´e muito importante para a fixa¸ca˜o dos conceitos e verifica¸ca˜o de aprendizagem.

Desejo a todos um bom estudo!

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SUMÁRIO

UNIDADE I

LÓGICA MATEMÁTICA 15 Introdução 16 Lógica Proposicional 16 Proposições e Valores Lógicos 17 Conectivos Lógicos 25 Tabela-Verdade 26 Tautologias e Contradições 28 Equivalência Lógicas 31 Implicações Lógicas 32 Método Dedutivo 35 Quantificadores e Predicados 38 Negação de Sentenças Quantificadas 39 Considerações Finais

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SUMÁRIO

UNIDADE II

TEORIA DOS CONJUNTOS 47 Introdução 47 Conceitos Primitivos 48 Descricão de Conjuntos 50 Igualdade de Conjuntos 50 Tipos de Conjuntos 51 Subconjuntos 53 Conjunto das Partes 54 Diagramas de Venn-Euler 58 Produto Cartesiano 59 Relação Entre Lógica e Álgebra dos Conjuntos 60 Princípio da Inclusão e Exclusão 64 Considerações Finais

UNIDADE III

RELAÇÕES 73 Introdução 73 Relação Binária 76 Tipos de Relações Binárias 77 Propriedades das Relações 78 Representação das Relações

SUMÁRIO 82 Relação de Ordem 85 Diagrama de Hasse 87 Diagrama PERT 89 Relações Duais  89 Composição de Relações 91 Consideração Finais

UNIDADE IV

FUNÇÕES 101 Introdução 101 Funções 103 Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função 105 Igualdade de Funções 105 Gráfico de Funções 108 Função Piso e Função Teto 109 Propriedades de Funções 112 Função Composta 114 Funções Inversas 115 Técnicas para Obtenção da Inversa de uma Função 117 Considerações Finais

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SUMÁRIO

UNIDADE V

APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO 125 Introdução 125 Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação 132 PROLOG 139 Caminho Crítico no Diagrama PERT 144 Autômatos Finitos 150 Relações e Banco de Dados 159 Considerações Finais

165 Conclusão 167 Referências 169 Gabarito

LÓGICA MATEMÁTICA

UNIDADE

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

I

Objetivos de Aprendizagem ■■ Desenvolver o raciocínio lógico matemático. ■■ Usar os símbolos formais da lógica proposicional. ■■ Encontrar o valor-verdade de expressões em lógica proposicional. ■■ Reconhecer tautologias e contradições. ■■ Usar a lógica proposicional para provar a validade de um argumento na língua portuguesa. ■■ Identificar/reconhecer símbolos quantificados. ■■ Determinar o valor-verdade de uma proposição predicativa em uma dada interpretação. ■■ Representar sentenças da língua portuguesa usando a lógica de predicativos. ■■ Determinar a negação de sentenças quantificadas.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Lógica Proposicional. ■■ Conectivos Lógicos ■■ Tabelas- Verdade ■■ Tautologias e Contradições ■■ Equivalências Lógicas ■■ Implicações Lógicas

■■ Método Dedutivo ■■ Quantificadores e Predicados ■■ Negação de Sentenças Quantificadas

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Introdu¸ c˜ ao

INTRODUÇÃO A l´ogica formal fornece base para o modo de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. Ela ´e considerada base de todo racioc´ınio matem´atico e do racioc´ınio automatizado, tendo aplica¸c˜oes diretas em Ciˆencia da Computa¸c˜ao, em grau variado de complexidade. Considera-se que o estudo da L´ogica teve in´ıcio na Gr´ecia Antiga, sendo

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sistematizado por Arist´oteles (384a.C.-322a.C.), com a formula¸ca˜o de leis gerais de encadeamentos de conceitos e ju´ızos que levariam a` descoberta de novas verdades (L´ogica Cl´assica). Entretanto, os argumentos formulados em linguagem natural como em portuguˆes, por exemplo, s˜ao muitas vezes de dif´ıcil avalia¸ca˜o, devido a ambiguidades nas frases e constru¸c˜oes confusas. Os matem´aticos da atualidade entenderam ent˜ao que, para uma mat´eria ser estudada com o car´ater cient´ıfico necess´ario, era preciso introduzir-se uma linguagem simb´olica. A L´ogica Simb´olica ou L´ogica Matem´atica utiliza s´ımbolos de origem matem´atica para formular os argumentos. Nessa l´ogica, as v´arias rela¸c˜oes entre proposi¸co˜es s˜ao representadas por f´ormulas cujos significados est˜ao livres de ambiguidades t˜ao comuns `a linguagem corrente, e essas f´ormulas podem ser “operadas” segundo um conjunto de regras de transforma¸ca˜o formal. Outra vantagem de seu uso refere-se a` facilidade de entendimento e brevidade para obter resultados. O moderno desenvolvimento da L´ogica iniciou-se com a obra de George Boole (1815-1864)´ “Algebra Booleana”- e de Augustus De Morgan (1806-1871), e foi consolidado pelo fil´osofo e matem´atico alem˜ao Gottlob Frege (1848-1895) - “Regras de Demonstra¸ca˜o Matem´atica.” Como a L´ogica Simb´olica tem sua pr´opria linguagem t´ecnica, ´e um instrumento poderoso para a an´alise e a dedu¸c˜ao dos argumentos, especialmente com o uso do computador. Na computa¸ca˜o, ela ´e utilizada para representar problemas e para obter suas solu¸co˜es. O algoritmo, que seria o conjunto finito de instru¸co˜es a serem executadas para obter a solu¸ca˜o de um problema, ´e constru´ıdo com base na l´ogica matem´atica. Nessa unidade vamos estudar os principais conceitos e a terminologia da l´ogica matem´atica, que envolve proposi¸co˜es, conectivos, tabelas-verdade e tautologias para chegar a conclus˜oes a partir de proposi¸c˜oes dadas, bem como o estudo dos quantificadores e predicados. Os conte´ udos estudados ser˜ao utilizados em disciplinas futuras e fornecer˜ao ferramentas para investiga¸co˜es e aplica¸co˜es precisas em sua ´area de atua¸c˜ao.

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Introdução

I

L´ ogica Proposicional

Proposi¸c˜ oes e Valores L´ ogicos Proposi¸ca˜o ´e uma senten¸ca declarativa que ´e verdadeira ou falsa, mas n˜ao ambas. Dito de outra maneira, proposi¸ca˜o ´e toda express˜ao que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como V (verdadeira) ou F (falsa). Exemplos: 1. 17 ´e um n´ umero par. 2. O gato ´e um mam´ıfero. √ 3. O 136◦ d´ıgito da expans˜ao decimal de 11 ´e 2. 4. Est´a chovendo agora. 5. Todo quadrado ´e um retˆangulo. 6. 100 + 100 = 300 Observamos que todas essas senten¸cas s˜ao proposi¸c˜oes, pois: (2) e (5) s˜ao verdadeiras e (1) ´e falsa; a veracidade ou falsidade de (4) depende do momento em que a proposi¸c˜ao ´e feita; e apesar de n˜ao sabermos o valor do d´ıgito solicitado na afirma¸c˜ao (3), ele ser´a igual a 2 ou n˜ao ser´a 2, ou seja, a senten¸ca ser´a verdadeira ou falsa.

3 LÓGICA MATEMÁTICA

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Como exemplos de frases que n˜ao s˜ao proposi¸co˜es, podemos citar: 1. Feliz anivers´ario!!! (Senten¸ca exclamativa) 2. Onde est´a a chave? (Senten¸ca interrogativa) 3. Vire `a esquerda. (Senten¸ca imperativa) 4. x+y = 6. (senten¸ca aberta; pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores de x e y) O valor l´ ogico de uma proposic˜ ¸ao se refere a um dos dois poss´ıveis ju´ızos que atribuiremos a uma proposi¸ca˜o: verdadeiro, denotado por V (ou 1), ou falso, denotado por F (ou 0).

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Princ´ıpios B´ asicos das Proposi¸ c˜ oes: I) Princ´ıpio da n˜ ao contradi¸c˜ ao: Uma proposi¸ca˜o n˜ao pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. II) Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Toda proposi¸c˜ao ou ´e verdadeira ou ´e falsa; n˜ao existe um terceiro valor l´ogico. Classifica¸ c˜ ao das Proposi¸ co ˜es: As proposi¸c˜oes podem ser classificadas em simples e compostas: Proposi¸c˜oes simples: aquelas que vˆem sozinhas, desacompanhadas de outras proposi¸c˜oes. Exemplos: * A impressora est´a ligada. * O novo papa ´e argentino. Proposi¸c˜oes compostas: aquelas formadas pela combina¸c˜ao de proposi¸c˜oes simples. Exemplos: * Jo˜ao ´e m´edico e Pedro ´e dentista. * Se fizer sol, ent˜ ao irei ao clube.

Conectivos L´ ogicos Proposi¸co˜es simples podem ser combinadas para formar proposi¸c˜oes mais complexas: as proposi¸c˜oes compostas. As palavras ou s´ımbolos usados para formar novas proposi¸c˜oes a partir de proposi¸co˜es dadas s˜ao chamados de conectivos.

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Conectivos Lógicos

I

Os conectivos fundamentais da L´ogica Matem´atica s˜ao: Os conectivos fundamentais da L´ogica Matem´atica s˜ao: Conectivo S´ımbolo Conectivo S´ımbolo 1) n˜ao; n˜ao ´e verdade que ∼ Nega¸ca˜o ou modificador 1) n˜ao; n˜ao ´e verdade que ∼ Nega¸ca˜o ou modificador ∧ Conjun¸ca˜o 2) e 2) e ∧ Conjun¸ca˜o ∨ Disjun¸ca˜o 3) ou 3) ou ∨ Disjun¸ca˜o → Condicional 4) se ... ent˜ao 4) se ... ent˜ao → Condicional ↔ Bicondicional 5) se, e somente se 5) se, e somente se ↔ Bicondicional

Dadas as proposi¸co˜es simples p e q, podemos com o uso de conectivos formar novas proposi¸c˜oes Dadas as proposi¸co˜es simples p e q, podemos com o uso de conectivos formar novas proposi¸c˜oes a partir de p e q. Assim temos: a partir de p e q. Assim temos: ∼p ∼p p∧q p∧q p∨q p∨q p→q p→q p↔q p↔q

n˜ ao p n˜ ao p peq peq p ou q p ou q se p, ent˜ ao q se p, ent˜ ao q p se, e somente se, q p se, e somente se, q

Exemplo: Exemplo: Dadas as proposi¸c˜oes p: 2 ´e um n´ umero par e q: 6 ´e m´ ultiplo de 3, fa¸ca as tradu¸co˜es para Dadas as proposi¸c˜oes p: 2 ´e um n´ umero par e q: 6 ´e m´ ultiplo de 3, fa¸ca as tradu¸co˜es para a linguagem corrente para as seguintes proposi¸c˜oes: a linguagem corrente para as seguintes proposi¸c˜oes: a) ∼ p 2 n˜ ao ´e um n´ umero par. (ou: 2 ´e um n´ umero ´ımpar.) a) ∼ p 2 n˜ ao ´e um n´ umero par. (ou: 2 ´e um n´ umero ´ımpar.) b) ∼ p ∨ q 2 n˜ ao ´e par ou 6 ´e m´ ultiplo de 3. b) ∼ p ∨ q 2 n˜ ao ´e par ou 6 ´e m´ ultiplo de 3. c) ∼ q → p Se 6 n˜ ao ´e m´ ultiplo de 3, ent˜ ao 2 ´e par. c) ∼ q → p Se 6 n˜ ao ´e m´ ultiplo de 3, ent˜ ao 2 ´e par. d) ∼ p ↔ q 2 ´e ´ımpar se, e somente se, 6 ´e m´ ultiplo de 3. d) ∼ p ↔ q 2 ´e ´ımpar se, e somente se, 6 ´e m´ ultiplo de 3. e) ∼ (p ∧ ∼ q) N˜ ao ´e verdade que 2 ´e par e 6 n˜ ao ´e um m´ ultiplo de 3. e) ∼ (p ∧ ∼ q) N˜ ao ´e verdade que 2 ´e par e 6 n˜ ao ´e um m´ ultiplo de 3.

# SAIBA MAIS #: # SAIBA MAIS #: Alguns dos conectivos apresentados podem ser denotados por outros s´ımbolos ou express˜oes. Alguns dos conectivos apresentados podem ser denotados por outros s´ımbolos ou express˜oes. Consideremos p, q proposi¸co˜es: Consideremos p, q proposi¸co˜es: Conectivo l´ ogico Conectivo l´ ogico Nega¸ca˜o Nega¸ca˜o Conjun¸ca˜o Conjun¸ca˜o Disjun¸ca˜o Disjun¸ca˜o 5 LÓGICA MATEMÁTICA

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S´ımbolo S´ımbolo  ¬p; p  ¬p; p p.q p.q p+q p+q

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1) A nega¸c˜ao de p 1) A nega¸c˜ao de p 2) A conjun¸c˜ao de p e q 2) A conjun¸c˜ao de p e q 3) A disjun¸c˜ao de p e q 3) A disjun¸c˜ao de p e q 4) A condicional de p e q 4) A condicional de p e q 5) A bicondicional de p e q 5) A bicondicional de p e q

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A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programa¸ca˜o) possui os A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programa¸ca˜o) possui os seguintes conectivos l´ogicos: seguintes conectivos l´ogicos:

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not Nega¸ca˜o not ca˜oca˜o and Nega¸ Conjun¸ and ca˜coa˜o or Conjun¸ Disjun¸ or Disjun¸ c a˜o 5 ou 3 + 1 = 2. b) A frase: “O aluno tem celular ou notebook” ´e uma disjun¸ca˜o de duas proposi¸co˜es simples: [O aluno tem celular] ∨ [O aluno tem notebook]. O concetivo ∨ tamb´em ´e chamado de “ou inclusivo”, pois ele admite as duas frases verdadeiras. A frase do exemplo acima ´e verdadeira se o aluno tiver somente celular, somente notebook, ou celular e notebook. Em resumo: V(p ∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.

7 LÓGICA MATEMÁTICA

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p V

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Tabela-verdade para a disjun¸ca˜o p ∨ q. p∨q

p

q

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

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3.1) Disjun¸c˜ ao Exclusiva: (∨) Chama-se disjun¸ca˜o exclusiva de duas proposi¸co˜es p e q a proposi¸c˜ao representada por “p ∨ q” ou p⊕q, que se lˆe: “ou p ou q” ou “p ou q, mas n˜ao ambos”, cujo valor l´ogico ´e a verdade (V) somente quando p ´e verdadeira ou q ´e verdadeira, mas n˜ao quando p e q s˜ao ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q s˜ao ambas verdadeiras ou ambas falsas. Em resumo: V( p∨q ) = F quando V(p) = V(q). Na disjun¸ca˜o exclusiva, as duas proposi¸c˜oes n˜ao podem ocorrer ao mesmo tempo. Exemplos: a) p: x ´e par ; q: x ´e ´ımpar. x pode ser par ou ´ımpar, mas x n˜ao pode ser par e ´ımpar ao mesmo tempo. A composta “p ou q” ´e simbolizada por P(p, q) = (p∨q). b) Arnaldo ´e alagoano ou pernambucano. c) O documento foi enviado por malote ou pelo correio. Tabela-verdade da disjun¸ca˜o exclusiva p∨q. p

q

p∨q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

4. Condicional (−→) Sejam p e q proposi¸c˜oes. A proposi¸ca˜o “se p, ent˜ao q” , que ser´a denotada por p → q, ´e chamada de condicional ou implica¸c˜ao. A proposi¸ca˜o p → q assume o valor falso somente 8 Proposições e Valores Lógicos

I

quando p for verdadeira e q for falsa. Resumindo: V(p → q) = F somente quando V(p) = V e V(q) = F. Ilustremos inicialmente uma interpreta¸ca˜o do conectivo → atrav´es da senten¸ca: “Se Ana conseguir o emprego, ent˜ao far´a uma festa.”

Definindo-se: p: “Ana consegue o emprego” e q: “ Ana faz uma festa”, ent˜ao (p → q) representa a

promessa de Ana.

Vamos analisar quando a promessa ser´a cumprida:

2) Digamos que Ana n˜ao consiga o emprego (p ´e F). Neste caso, independente de fazer ou n˜ao uma festa (q ´e V ou F), a promessa n˜ao ser´a descumprida (p → q ´e V). Observamos que a u ´nica possibilidade de p → q ser falsa ´e quando p ´e V e q ´e F. Tabela-verdade da condicional p → q. p

p→q

q

V V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Na condicional p → q, a proposi¸ca˜o p ´e chamada de hip´otese, premissa ou antecedente, enquanto a proposi¸c˜ao q ´e denominada tese, conclus˜ao ou consequente. Em Portuguˆes, o uso do condicional estabelece uma rela¸c˜ao de causa e efeito entre a hip´otese e a conclus˜ao. Entretanto, na condicional l´ogica p → q, n˜ao ´e necess´ario existir uma rela¸ca˜o causal entre a hip´otese p e a tese q. Por exemplo, a condicional: “Se laranjas s˜ao azuis ent˜ao 2 ´e par” ´e destitu´ıda de “sentido” na l´ıngua portuguesa, mas como a hip´otese ´e falsa, temos que a condicional ´e verdadeira, mesmo n˜ao existindo rela¸ca˜o de causa e efeito entre as proposi¸c˜oes envolvidas.

9 LÓGICA MATEMÁTICA

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1) Digamos que ela consiga a vaga de emprego (p ´e V). Pode acontecer que ela fa¸ca a festa (q ´e V), cumprindo a promessa (p → q ´e V). Por outro lado, Ana pode n˜ao fazer a festa, descumprindo a promessa (p → q ´e F).

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Proposi¸c˜ oes Associadas a uma Condicional: Consideremos as proposi¸c˜oes: p: O quadril´ atero Q ´e um quadrado. q: O quadril´ atero Q ´e um retˆ angulo. e a condicional p → q : “Se o quadril´atero Q ´e um quadrado, ent˜ao ´e um retˆangulo.”

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Temos as seguintes proposi¸co˜es associadas `a condicional p → q : • Contrapositiva ∼ q →∼ p : “Se o quadril´atero Q n˜ao ´e um retˆangulo, ent˜ao Q n˜ao ´e um quadrado.”

• Rec´ıproca q → p : “Se o quadril´atero Q ´e um retˆangulo, ent˜ao ´e um quadrado.” • Inversa ∼ p →∼ q : “Se o quadril´atero Q n˜ao ´e um quadrado, ent˜ao Q n˜ao ´e um retˆangulo.”

5. Bicondicional (↔) Se p e q s˜ao duas proposi¸c˜oes, a proposi¸ca˜o “p, se e somente se q”, que ser´a indicada por “p ↔ q” ´e chamada de bicondicional. A proposi¸ca˜o bicondicional ser´a verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e ser´a falsa nos demais casos. Resumindo: V (p ↔ q) = V quando V(p) = V(q). Tabela-verdade da bicondicional p ↔ q. p

q

V V

p↔q V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

A bicondicional p ↔ q tamb´em se lˆe de uma das seguintes maneiras: • p ´e condi¸ca˜o necess´aria e suficiente para q. • q ´e condi¸ca˜o necess´aria e suficiente para p.

10 Proposições e Valores Lógicos

I

Exemplo: “Respiro se, e somente se, estou vivo”. Percebemos pelo exemplo que respirar ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para estar vivo, assim como estar vivo ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para respirar.

Prioridades de Opera¸ c˜ oes L´ ogicas Em uma opera¸ca˜o que usa dois ou mais operadores l´ogicos, como p ∧ r ∨ q → r, a ordem em

que eles aparecem ´e muito importante. Em geral, usam-se parˆenteses para indicar a ordem e ´ agrupamento das opera¸c˜oes l´ogicas. Mas assim como na Algebra, existe uma conven¸c˜ao sobre a ordem de precedˆencia para os conectivos, que estabelecem uma ordem de aplica¸ca˜o, mesmo na ausˆencia de parˆenteses.

∼ ∧ ∨ → ↔

1 2 3 4 5

Exemplo: Seja a senten¸ca em linguagem natural: “Vocˆe n˜ao pode andar de montanha russa se vocˆe tiver menos do que 1,20 metros de altura, a menos que vocˆe tenha 16 anos de idade.” Podemos fazer a tradu¸c˜ao dessa senten¸ca em proposi¸c˜oes compostas da seguinte maneira. Consideremos as primitivas: • q: Vocˆe pode andar de montanha russa. • r: Vocˆe tem menos do que 1,20 m de altura. • s: Vocˆe tem mais de 16 anos de idade. Ent˜ao, a senten¸ca em linguagem natural pode ser traduzida em proposi¸co˜es l´ogicas como: r∧ ∼ s →∼ q, ou ainda ∼ r ∨ s → q, que devem ser consideradas como [(r ∧ (∼ s)) → (∼ q)], ou ainda ((∼ r) ∨ s) → q.

11 LÓGICA MATEMÁTICA

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OPERADOR PRIORIDADE

25

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Tabelas-Verdade

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Tabela-Verdade Dadas v´arias proposi¸c˜oes simples p, q, r, s, ..., podemos combin´a-las para formar novas proposi¸co˜es compostas. O valor-verdade dessas novas proposi¸co˜es fica completamente determinado pelos valores das proposi¸c˜oes componentes e pela natureza dos conectivos envolvidos. Uma maneira de determinar o valor l´ogico de proposi¸co˜es compostas ´e pela constru¸ca˜o de tabelas-verdade. Exemplos: 1) Construir a tabela-verdade da proposi¸c˜ao ∼ (p ∧ q). Observemos que como existem duas proposi¸co˜es simples envolvidas, p e q, ent˜ao existem 4 possibilidades de combinar os valores-verdade de p e q: VV; VF; FV e FF. Dessa forma, a tabela-verdade ter´a 22 = 4 linhas. p

q

V V

p∧q

∼ (p ∧ q)

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

1

1

2

3

2) Construir a tabela-verdade da proposi¸c˜ao (p∨ ∼ q) → q. p

q

V V

∼q

p∨ ∼ q

F

V

(p∨ ∼ q) → q V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

Tabela-Verdade

12

I

# REFLITA# # REFLITA# N´ umero de linhas de uma tabela-verdade N´ umero de linhas de uma tabela-verdade “A tabela-verdade de uma proposi¸ca˜o composta com “A tabela-verdade de uma proposi¸ ca˜eomcomposta com n proposi¸ co˜es simples componentes cont´ 2n linhas”. n proposi¸co˜es simples componentes cont´em 2n linhas”. Fonte: a autora. Fonte: a autora. #FIM REFLITA#

#FIM REFLITA#

3) Encontrar a tabela-verdade da proposi¸ca˜o composta S = (p∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r). 3) Encontrar a tabela-verdade da proposi¸ca˜o composta S = (p∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r). p q r (p V pV qV rV V VV VF VV V VF VV FV V VF FF VV F VV F FV

∨ ∼ q) → (pV ∨ F ∼ q)V VV V F F F VV V V F F

(p ∧ q →V (pV ∧V VV VV VV FV VF VF

VV V V V V FV FV FF VF V F V V VF VF VF FF F F F V VF VV FF FV F V F F VF

↔ r) qV ↔V r) VF VF V VF FV F

VF FF FV VF FV FF FF FV VV FF FF VF

FF V VV F FF V VV F

F FF F FF FF VF FV V V V V FF FF FF FV FF V F F F F V V V F F F V F 1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1 1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1 4) Construir a tabela-verdade de (p ∧ q)∨ ∼ (p → q). 4) Construir a tabela-verdade de (p ∧ q)∨ ∼ (p → q). ∧ q) ∨ ∼ V (pV ∧V q)V ∨F V VF VF VV VV F VF FV FF VF F FF FF VF FF

(p

(p → ∼V (pV FV VF VF VV

q) →V q) VF V

FV FF FV VF F F F F F F V 1 2 1 5 4 1 3 1 1 2 1 5 4 1 3

F V F 1

Tautologias e Contradi¸co ˜es Tautologias e Contradi¸co ˜es Uma tautologia ´e uma proposi¸ca˜o composta que ´e sempre verdadeira, quaisquer que sejam os Umal´otautologia ´e uma cproposi¸ ca˜o composta queoem, ´e sempre verdadeira, quedesejam valores gicos das proposi¸ ˜oes simples que a comp˜ ou seja, a coluna quaisquer de resultado sua os valores l´ogicos das proposi¸c˜oes simples que a comp˜oem, ou seja, a coluna de resultado de sua 13 LÓGICA MATEMÁTICA 13

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Um outro modo de se construir a tabela-verdade de uma proposi¸c˜ao composta ´e dada a modo todos de se osconstruir a tabela-verdade de uma c˜ao composta ´e dada seguir, Um ondeoutro colocamos elementos envolvidos na proposi¸ ca˜oproposi¸ composta e numeramos as a seguir, onde todosetapa: os elementos envolvidos na proposi¸ca˜o composta e numeramos as etapas; a solu¸ c˜aocolocamos ser´a a u ´ltima etapas; a solu¸c˜ao ser´a a u ´ltima etapa:

27

tabela-verdade cont´em somente valores l´ogicos verdadeiros (V). Por outro lado, uma proposi¸ca˜o

composta que tabela-verdade ´e sempre falsa cont´ ´e chamada de contradi¸ ˜aoo. Uma proposi¸c˜a(V). o composta quelado, n˜ao uma ´e proposi¸ca˜o em somente valorescl´ gicos verdadeiros Por outro uma tautologia nem uma contradi¸ c ˜ a o ´ e denominada contingˆ e ncia. composta que ´e sempre falsa ´e chamada de contradi¸c˜ao. Uma proposi¸c˜ao composta que n˜ao ´e uma tautologia nem uma contradi¸c˜ao ´e denominada contingˆencia. Exemplos: Exemplos: 1) A proposi¸ca˜o composta p ∧ q → q ´e uma tautologia.

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1) A proposi¸ca˜o composta p ∧ q → q ´e uma tautologia. p ∧ q → q V

V V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

1

2

1

Vp V∧ VV FV VV VF



q V

VF FF 3 F 1F

q

V

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

1 contradi¸ 2 1 c3a˜o. 1 2) A proposi¸ca˜o composta (p ∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) ´e uma 2) A proposi¸ca˜o composta (p ∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) ´e uma contradi¸ca˜o. (p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q) V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

1

2

1

F(p F∧ Vq) FV VV VV FV VF FF FF VF FV

V∧ V∼ VF FF VF VV

(p

FF FV 5F 4F 1F 3F 1V

2 encia. 1 5 3) A proposi¸ca˜o composta q →∼ q ´e uma 1contingˆ

4

q)

V



V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

1

3

1

3) A proposi¸ca˜o composta q →∼ q ´e uma contingˆencia. q → ∼q V

F

F

q

F

V

V

V

→ F

∼q F

F ancia V emVm´etodos de prova, e ´e atrav´es As tautologias e contradi¸co˜es tˆem fundamental importˆ das tautologias que simplificar express˜ l´ogicas. As podemos tautologias e contradi¸ co˜es tˆeomesfundamental importˆancia em m´etodos de prova, e ´e atrav´es das tautologias que podemos simplificar express˜oes l´ogicas.

# REFLITA # # REFLITA # A L´ogica ´e a anatomia do pensamento. (John Locke) A L´ogica ´e a anatomia do pensamento. (John Locke) # FIM REFLITA # # FIM REFLITA # 14 14 Tautologias e Contradições

I Equivalˆ encias L´ ogicas

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Duas proposi¸c˜oes compostas P e Q s˜ao chamadas logicamente equivalentes se suas tabelas -verdade s˜ao idˆenticas, ou melhor, se, e somente se, P ↔ Q for tautologia. Nota¸co˜es: P ≡ Q ou P ⇔ Q. Podemos verificar que duas proposi¸co˜es s˜ao logicamente equivalentes por meio da constru¸ca˜o de suas tabelas-verdade. Exemplos: 1) Verificar que p ≡∼ (∼ p). ∼p

∼ (∼ p)

p↔∼ (∼ p)

V

V

F

V

F

V

1

2

3

4

p V

F

2) Verificar que p → q ⇔∼ p ∨ q. p

q

V V

∼p F

p→q V

∼p∨q

p → q ↔∼ p ∨ q

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

1

1

2

3

4

5

15

LÓGICA MATEMÁTICA

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Equivalência Lógicas

29

Equivalˆ encias L´ ogicas Importantes

p, q, r proposi¸co˜es Nota¸co˜es V: tautologia F: contradi¸ca˜o Propriedade

Equivalˆ encia L´ ogica

Identidades

p∧V ≡p p ∨F ≡p p↔V ≡p p∨F ≡ p

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Domina¸ca˜o Leis da idempotˆencia Dupla nega¸ca˜o Comutativa

Associativa Nega¸ca˜o ou Inversa Leis da implica¸c˜ao Leis da equivalˆencia Distributiva Leis de De Morgan Absor¸ca˜o Lei da contrapositiva

p∨V ≡V p∧F ≡F p∨p≡p p∧p≡p

∼ (∼ p) ≡ p

p∨q ≡q∨p p∧q ≡q∧p p↔q≡q↔p

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) p∨ ∼ p ≡ V p∧ ∼ p ≡ F

(p → q) ≡ (∼ p ∨ q) ≡∼ (p∧ ∼ q) ∼ (p → q) ≡ (p∧ ∼ q)

(p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) ∼ (p ↔ q) ≡ (p ↔∼ q) ≡ (∼ p ↔ q) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(p → q) ≡ (∼ q) → (∼ p)

Lei da redu¸c˜ao ao absurdo p → q ≡ (p∧ ∼ q) → F

Para estudos desenvolvidos em t´ecnicas digitais, as diversas portas l´ogicas s˜ao expressas em ´ importante ent˜ao expressar qualquer um dos conectivos usando somente ∼ termos de ∼ e ∧. E e ∧. 16 Equivalência Lógicas

I

Exerc´ıcio: Prove, usando tabela-verdade, a equivalˆencia dos conectivos estudados com as express˜oes que envolvem somente ∼ e ∧:

a) Disjun¸ca˜o: p ∨ q ≡∼ (∼ p∧ ∼ q). b) Condicional: p → q ≡∼ (p∧ ∼ q)

c) Bicondicional: p ↔ q ≡∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q)) Conectivos L´ ogicos e Programa¸ c˜ ao De acordo com Gersting (2004, p.9), podemos exemplificar uma aplica¸ca˜o da L´ogica Matem´atica na computa¸ca˜o: ˜ (NOT)(correspondendo, Os conectivos l´ogicos E (AND), OU (OR) e NAO

seu c´odigo. Se a express˜ao condicional for substitu´ıda por outra express˜ao equivalente mais simples, o valor l´ogico da express˜ao, e portanto, o fluxo de controle do programa, n˜ao ser´a afetado, mas o novo c´odigo ser´a mais f´acil de ser entendido e poder´a ser executado mais rapidamente. Exemplo: Vejamos o seguinte comando na linguagem de programa¸ca˜o Pascal: if(( x > y) and not ((x > y) and (z < 1000))) then Fa¸ca isso (um procedimento) else Fa¸ca aquilo (outro procedimento). Aqui a express˜ao condicional tem a forma A∧ ∼ (A ∧ B), em que A: x > y e B: z < 1000. Essa express˜ao pode ser simplificada utilizando uma condicional simplificada:

A∧ ∼ (A ∧ B) ≡ A ∧ (∼ A∨ ∼ B) ≡ (A∧ ∼ A) ∨ (A∧ ∼ B)

(distribuitividade)

≡ F ∨ (A∧ ∼ B)

(F denota contradi¸c˜ao)

≡ (A∧ ∼ B) ∨ F

(comutatividade)

≡ (A∧ ∼ B)

(identidade) 17

LÓGICA MATEMÁTICA

(Leis de De Morgan)

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respectivamente, a ∧, ∨ e ∼) est˜ao dispon´ıveis em muitas linguagens de programa¸ca˜o, assim como em calculadoras gr´aficas program´aveis. Esses conectivos, de acordo com as tabelas-verdade que definimos, agem em combina¸c˜oes de express˜oes verdadeiras ou falsas para produzir um valor l´ogico final. Tais valores l´ogicos fornecem a capacidade de tomada de decis˜ao fundamental ao fluxo de controle em programas de computadores. Assim, em uma ramifica¸c˜ao condicional de um programa, se o valor l´ogico da express˜ao condicional for verdadeiro, o programa executar´a a seguir um trecho de seu c´odigo; se o valor for falso, o programa executar´a um trecho diferente de

31

O comando pode ent˜ao ser reescrito como: if ((x > y) and not (z < 1000)) then Fa¸ca isso (um procedimento) else Fa¸ca aquilo (outro procedimento).

Implica¸ co ˜es L´ ogicas Sejam p e q duas proposi¸c˜oes. Dizemos que p implica logicamente q se p → q ´e uma tautologia.

Denotaremos que p implica logicamente em q por “p ⇒ q”. As implica¸c˜oes l´ogicas tamb´em podem ser chamadas de “inferˆencias l´ogicas”. As regras de inferˆencia s˜ao, na verdade, formas v´alidas de racioc´ınio, isto ´e, s˜ao formas que nos permitem ais, costumamos utilizar o termo “logo” (ou seus sinˆonimos: portanto, em consequˆencia, etc.) para caracterizar as Regras de Inferˆencia; a express˜ao p ⇒ q pode ent˜ao ser lida: “p; logo, q”.

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concluir o consequente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textu-

Listamos a seguir algumas regras de inferˆencia importantes, sendo p, q e r proposi¸co˜es quaisquer: Regras de Inferˆ encia 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p⇒p∨q p∧q ⇒p p∧q ⇒q (p → q) ∧ p ⇒ q (p → q)∧ ∼ q ⇒∼ p (p ∨ q)∧ ∼ p ⇒ q (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r) p → F ⇒∼ p

Lei de adi¸c˜ao Leis de simplifica¸c˜ao Modus Ponens Modus Tollens Silogismo disjuntivo Silogismo hipot´etico Demonstra¸ca˜o por absurdo

18 Implicações Lógicas

I

Exemplo: ´ gato, portanto mia.” “Se ´e gato, ent˜ao mia. E Essa frase exemplifica a regra de inferˆencia Modus Ponens (p → q) ∧ p ⇒ q. Provemos sua veracidade: p→q

(p → q) ∧ p

[(p → q) ∧ p] → q

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

p

q

V

V

V

V

V

V

M´ etodo Dedutivo Argumentos Um argumento ´e uma sequˆencia de proposi¸co˜es na qual uma delas deriva das demais. Usualmente, a proposi¸ca˜o derivada ´e chamada conclus˜ao, e as demais, premissas. Dito de outra maneira, chama-se argumento a afirma¸ca˜o de que de um dado conjunto de proposi¸co˜es P1 , P2 , ...Pn , chamadas premissas, decorre uma proposi¸c˜ao Q, chamada conclus˜ao.

Exemplo:

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LÓGICA MATEMÁTICA

19

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Exerc´ıcio: Verificar cada uma das inferˆencias acima usando tabela-verdade.

33

Exemplo: Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar L´ogica. Leonardo ´e aluno de Engenharia de Software. Logo, Leonardo precisa estudar L´o19 gica.

(premissa) (premissa) (conclus˜ao)

Um argumento ´e considerado v´alido se a conjun¸c˜ao das hip´oteses implica na tese. As premissas s˜ao consideradas provas evidentes da verdade da conclus˜ao.

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Exemplos: 1) Se ´e mam´ıfero, ent˜ao ´e vertebrado. A baleia ´e um mam´ıfero. Logo, a baleia ´e um vertebrado. Argumento v´ alido, em que as premissas e a conclus˜ ao s˜ ao verdadeiras. 2) Fernando Collor foi presidente do Brasil. Se ´e presidente do Brasil, ent˜ao sofre impeachemnt. Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente. Argumento v´ alido, com uma das premissas falsa, mas conclus˜ ao verdadeira. 3) Se ´e cobra, tem asas. A sucuri ´e uma cobra. Logo, a sucuri tem asas. Argumento v´ alido com uma das premissas falsa, e conclus˜ ao falsa. Se a conclus˜ao n˜ao decorre das premissas, dizemos que o argumento ´e inv´alido ou sofisma. Exemplos: 1) Se o n´ umero ´e m´ ultiplo de 4, ent˜ao ´e m´ ultiplo de 2. O n´ umero ´e m´ ultiplo de 2. Logo, tamb´em ´e m´ ultiplo de 4. 2) Se ´e p´assaro, ´e mortal. Eu sou mortal. Portanto, eu sou um p´assaro. A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento l´ogico entre as premissas e a conclus˜ao. A L´ogica n˜ao se ocupa de verificar se as premissas s˜ao verdadeiras; o objetivo da L´ogica ´e verificar se o argumento ´e estruturado de forma tal que, independentemente dos valores l´ogicos das proposi¸co˜es simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade da conclus˜ao.

20

Método Dedutivo

I

Para provar que um argumento ´e v´alido, devemos verificar que P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q ´e

uma tautologia. Isso pode ser feito por meio das tabelas-verdade, mas o processo ficaria demasiadamente longo se um grande n´ umero de proposi¸co˜es simples estiver envolvido. Podemos ent˜ao recorrer ao m´ etodo dedutivo, que consiste em obter a conclus˜ao a partir das premissas e de uma cadeia de equivalˆencias e inferˆencias que atuam sobre as hip´oteses, criando novas proposi¸co˜es at´e que se obtenha a tese, provando o resultado. Exemplos: Verificar se os seguintes argumentos s˜ao v´alidos, usando o m´etodo dedutivo. a) Se n˜ao terminar o trabalho, ent˜ao durmo mais cedo. Se dormir mais cedo, descansarei. N˜ao descansei. Logo, terminei o trabalho.

∼p→q q→r ∼r p

(hip´otese 1) (hip´otese 2) (hip´otese 3) (Tese)

Onde: p : Termino o trabalho. q : Durmo mais cedo. r : Descanso. Devemos provar que (∼ p → q) ∧ (q → r)∧ ∼ r ⇒ p 1. ∼ p → q 2. q → r 3. ∼ r 4. ∼ q 5. ∼ (∼ p) 6. p

(hip´otese) (hip´otese) (hip´otese) (2, 3, Modus Tollens) (1, 4, Modus Tollens) (5, Dupla nega¸c˜ao)

b) [Gersting, 2004, p.26] Se o programa ´e eficiente, ele executar´a rapidamente. Ou o programa ´e eficiente ou ele tem um erro. No entanto, o programa n˜ao executa rapidamente. Portanto o programa tem um erro. E: o programa ´e eficiente. R: o programa executa rapidamente. B: o programa tem um erro. (E → R) ∧ (E ∨ B)∧ ∼ R ⇒ B 21 LÓGICA MATEMÁTICA

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Podemos reescrever o argumento acima na forma da l´ogica proposicional da seguinte forma:

35

1. 2. 3. 4. 5.

E→R

(hip´otese)

∼R ∼E

(hip´otese) (1, 3, Modus Tollens)

E∨B

(hip´otese)

B

(2, 4, tautologia E ∨ B∧ ∼ E ⇒ B )

c) [Gersting, 2004, p.26] R´ ussia tinha um poder superior e, a Fran¸ca n˜ao era forte ou Napole˜ao cometeu um erro. Napole˜ao n˜ao cometeu um erro, mas se o ex´ercito n˜ao tivesse falhado, a Fran¸ca seria forte. Portanto, o ex´ercito falhou e a R´ ussia tinha um poder superior.

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R: A R´ ussia tinha um poder superior. F: A Fran¸ca era forte. N: Napole˜ao cometeu um erro. E: O ex´ercito falhou. O argumento ´e portanto: [R ∧ (∼ F ∨ N )]∧ ∼ N ∧ (∼ E → F ) ⇒ E ∧ R. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

R ∧ (∼ F ∨ N ) ∼N ∼E→F R ∼F ∨N ∼F ∼ (∼ E) E

(hip´otese) (hip´otese) (hip´otese) (1, Lei de simplifica¸ca˜o ) (1, Lei de simplifica¸ca˜o) (5, 2, silogismo disjuntivo) (3, 6, Modus Tollens) (7, dupla nega¸c˜ao)

9.

E∧R

(8, 4, conjun¸c˜ao)

Quantificadores e Predicados A L´ogica proposicional n˜ao ´e suficiente para simbolizar qualquer tipo de senten¸ca, pois tem uma possibilidade limitada de express˜oes. Por exemplo: • “Para todo x, y, x + y > 3” • “Existem crian¸cas que n˜ao gostam de chocolate.” • “Todo computador do Laborat´orio 2 est´a com v´ırus.”

22

Quantificadores e Predicados

I

N˜ao ´e poss´ıvel simbolizar tais senten¸cas adequadamente usando apenas vari´aveis proposicionais, parˆenteses e conectivos l´ogicos, pois elas contˆem elementos novos (“para todo”, “para cada”, “para algum”) que s˜ao ligados ao conceito de predicados e quantificadores, que definiremos posteriormente. Uma senten¸ca aberta ´e uma express˜ao que depende de uma ou mais vari´aveis. O valor verdade dessas senten¸cas s´o fica determinado quando os valores das vari´aveis forem identificados. (Logo, senten¸cas abertas n˜ao s˜ao proposi¸c˜oes). Uma senten¸ca aberta tamb´em pode ser denominada proposi¸c˜ ao aberta ou fun¸c˜ ao proposicional. Exemplos: a) y + 2 ´e maior que 5. b) x ´e um n´ umero ´ımpar. c) O computador x do Laborat´orio 1 est´a funcionando adequadamente. d) O quadrado de y ´e 81. Observamos que a senten¸ca do exemplo (a) ser´a verdadeira se y for um n´ umero maior que 3, mas ser´a falsa se y ≤ 3. Chamamos conjunto universo (U) ou dom´ınio de interpreta¸c˜ ao o conjunto de objetos dos quais a vari´avel pode ser escolhida. Para os exemplos acima, o conjunto universo do item (c) s˜ao os computadores do Laborat´orio 1, e o conjunto universo para o item (d) s˜ao n´ umeros 23 LÓGICA MATEMÁTICA

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inteiros. Numa senten¸ca aberta, a propriedade ou relacionamento entre objetos (ou vari´aveis) ´e chamada predicado. Denotaremos um predicado qualquer associado a uma vari´avel x por P (x). Por exemplo, na senten¸ca “P (x) = x ´e n´ umero primo”, a propriedade da vari´avel x ´e “ser primo”. Temos que P(7) ´e verdadeira e P(18) ´e falsa, pois 7 ´e um n´ umero primo e 18 n˜ao. Chama-se Conjunto-Verdade (VP ) de uma senten¸ca P (x) o conjunto de valores da vari´avel no Universo para os quais a senten¸ca ´e verdadeira, ou seja,

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VP = {a ∈ U | V [P (a)] = V } Por exemplo, seja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a express˜ao “x ´e par” representada por P(x). Temos ent˜ao VP = {0, 2, 4, 6}. Para predicados que envolvem mais vari´aveis, a ordem em que as vari´aveis aparecem ´e importante. Por exemplo, se P(x,y) indica que x ´e predador de y, n˜ao podemos dizer que y ´e predador de x (ou seja, que vale P(y,x)). Uma outra maneira de transformar senten¸cas abertas em proposi¸co˜es ´e por meio da utiliza¸ca˜o de quantificadores. Quantificadores s˜ao frases do tipo “para todo”, “para cada” ou “para algum”, isto ´e, frases que dizem “quantos objetos” apresentam determinada propriedade. A ´area da L´ogica que estuda predicados e quantificadores ´e denominada de c´ alculo de predicados. Quantificador Universal: ´e simbolizado por “∀” e lˆe-se “para todo”, “para qualquer” ou “para cada”. Uma proposi¸ca˜o do tipo “Para todo x, P (x) ” ´e simbolicamente representada por (∀x)(P (x)). Quantificador Existencial: simbolizado por “∃”, ´e lido como “existe um”; “h´a pelo menos um”; “para ao menos um”; “para algum”. Uma proposi¸c˜ao do tipo “Existe um x tal que P (x)” pode ser escrita simbolicamente como (∃x)(P (x)). Exemplos: Simbolizar as proposi¸c˜oes: a) Para todo x, existe um y tal que x + y < 0: (∀x)(∃y)(x + y < 0)

24 Quantificadores e Predicados

I

b) Existe um x e existe um y tal que x.y ´e racional: (onde x.y indica o produto de x por y) (∃x)(∃y)[(x.y) ∈ Q] c) Para todo x, se x ´e negativo, ent˜ao existe y positivo tal que x + y = 0: (∀x)[x < 0 → (∃y)(y > 0 ∧ x + y = 0)] d) Somente os m´edicos podem solicitar exames. Indicando por M(x): x ´e m´edico e E(x): x pode solicitar exames, a senten¸ca pode ser reescrita como:

e) Todo dia que ´e ensolarado n˜ao ´e chuvoso. Considerando os s´ımbolos predicados D(x): x ´e um dia; E(x): x ´e ensolarado e C(x): x ´e chuvoso, ent˜ao podemos reescrever a proposi¸ca˜o como: (∀x)[D(x) ∧ E(x) →∼ C(x)]

Nega¸ c˜ ao de Senten¸cas Quantificadas Consideremos a seguinte senten¸ca: “Todos os insetos tˆem asas”. Sua nega¸ca˜o ser´a “N˜ao ´e verdade que todos os insetos tˆem asas”, ou “Alguns insetos n˜ao tˆem asas”, ou ainda, “Existem insetos que n˜ao tˆem asas”. A nega¸ca˜o de “Existem crian¸cas obesas” ´e “Nenhuma crian¸ca ´e obesa”, ou “Toda crian¸ca n˜ao ´e obesa”, ou “Qualquer crian¸ca n˜ao ´e obesa.” Resumindo: ∼ [(∀x)(P (x))] ≡ (∃x)(∼ P (x)) e ∼ [(∃x)(P (x))] ≡ (∀x)(∼ P (x))

Exemplo: Considere a senten¸ca “Dados x, y ∈ R, se x < y, ent˜ao x2 < y 2 .”

25 LÓGICA MATEMÁTICA

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Para todo x, se x pode solicitar exames, ent˜ao x ´e m´edico: (∀x)(E(x) → M (x)).

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a) Com o uso de s´ımbolos predicados e quantificadores apropriados, escrever simbolicamente a senten¸ca: (∀x)(∀y)(x < y → x2 < y 2 ). b) Escrever, simbolicamente e em linguagem usual, a nega¸ca˜o da senten¸ca dada.

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    ∼ (∀x)(∀y)(x < y → x2 < y 2 ) ≡ (∃x) ∼ (∀y)(x < y → x2 < y 2 )   ≡ (∃x)(∃y) ∼ (x < y → x2 < y 2 )   ≡ (∃x)(∃y) x < y∧ ∼ (x2 < y 2 )   ≡ (∃x)(∃y) x < y ∧ (x2 ≥ y 2 ) .

“Existem x e y, com x < y e (x2 ≥ y 2 )”.

Considera¸ co ˜es Finais O desenvolvimento de software ´e uma atividade de crescente importˆancia na sociedade atual, e a necessidade de solu¸c˜oes computadorizadas surgem nas mais diversas a´reas do conhecimento humano. Ao iniciar o curso, o aluno ´e preparado para resolver pequenos problemas por meio da programa¸ca˜o e da estrutura de dados, para posteriormente tratar de problemas mais complexos, o que exigir´a maiores conhecimentos e habilidades. Para isso, o racioc´ınio l´ogico deve ser desenvolvido, pois facilita a busca por uma solu¸ca˜o que seja coerente, efetiva e eficaz, o que geralmente n˜ao ´e t˜ao simples. Sendo a L´ogica o estudo dos mecanismos do pensamento, ´e natural que ela ocupe um papel de destaque na Computa¸c˜ao, tendo aplica¸ca˜o em diversas a´reas tais como banco de dados; circuitos integrados; inteligˆencia artificial; sistemas computacionais (hardware e software) e sistemas distribu´ıdos. Como a L´ogica possui uma linguagem simb´olica pr´opria, torna-se poss´ıvel a utiliza¸c˜ao de recursos computacionais no tratamento de enunciados e argumentos, visto que os computadores digitais se mostram bastante adequados `a manipula¸ca˜o de s´ımbolos, enquanto apresentam extrema dificuldade no tratamento de linguagem natural. Nesta unidade fizemos estudo dos conectivos l´ogicos “e”, “ou” e “n˜ao”, oferecidos pela maioria das linguagens de programa¸ca˜o, e observamos que os valores-verdade de proposi¸co˜es compostas dependem dos valores de seus componentes e dos conectivos usados. Tamb´em foi exemplificado como as implica¸co˜es e equivalˆencias l´ogicas auxiliam na simplifica¸ca˜o de express˜oes mais complexas, permitindo que um c´odigo se torne mais simples de ser entendido e executado em menor tempo. As linguagens de programa¸c˜ao s˜ao constitu´ıdas em fun¸ca˜o da l´ogica de predicados, e a l´ogica formal ´e essencial para o curso, da´ı a importˆancia do estudo dos t´opicos dessa unidade. 26 Considerações Finais

Atividades de Autoestudo

1) Sabendo que p ´e uma proposi¸ca˜o verdadeira, determine se as afirma¸co˜es abaixo s˜ao verdadeiras (V) ou falsas (F): a) p ∧ q ´e verdadeira, qualquer que seja q; b) p ∨ q ´e verdadeira, qualquer que seja q. c) p ∧ q ´e verdadeira s´o se q for verdadeira. d) p → q ´e falsa, qualquer que seja q. e) p → q ´e verdadeira, quaisquer que sejam p e q. f) p ↔ q ´e verdadeira s´o se q for verdadeira. 2) Sabendo que os valores l´ogicos das proposi¸co˜es p, q, r e s s˜ao respectivamente F, V, V e F, determinar o valor l´ogico (V ou F) das seguintes proposi¸co˜es compostas: a) (p ∧ (∼ q → q))∨ ∼ ((r ↔∼ q) → (q∧ ∼ r)). b) (p ∧ q)∨ ∼ s →∼ (q ↔∼ r). c) (p ∧ q −→ r) ∨ (∼ p ↔ q∨ ∼ r). d) ∼ (r → (∼ r → s)). 3) Determine o valor l´ogico (V ou F) de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes, justificando a resposta: a) (p ↔ q)∧ ∼ r ; sabendo que V (p) = V e V (r) = V . b) p ∧ q → p ∨ r ; sabendo que V (p) = V e V (r) = F . c) (p →∼ q) ∧ (∼ p∧ ∼ r) ; sabendo que V (q) = F e V (r) = V . 4) Um conectivo muito muito importante para projetos de circuitos l´ogicos ´e o operador n˜ ao -e ou nand, que denotaremos por , definido por p  q = ∼ (p ∧ q). De maneira an´aloga, temos o operador n˜ ao-ou ou nor, que denotaremos por , definido por p  q = ∼ (p ∨ q). Construa as tabelas-verdade dos operadores  e .

5) Dˆe a nega¸c˜ao das seguintes proposi¸c˜oes: a) Linux ´e um software livre e Pascal ´e uma linguagem de programac¸c˜ao. b) Todos os homens s˜ao bons motoristas. c) Se T ´e um trap´ezio, ent˜ao T ´e um quadril´atero. d) O processador ´e r´apido, mas a impressora ´e lenta. e) Se o processador ´e r´apido, ent˜ao a impressora ´e lenta. f) Existem n´ umeros pares que n˜ao s˜ao m´ ultiplos de 2. 27

41

´ suficiente cantar para estar vivo. g) E h) Toda solu¸ca˜o de x2 − 6 = 0 ´e positiva. i) Alguns inteiros s˜ao pares ou divis´ıveis por 5. j) Windows ´e um editor de textos e Pascal ´e uma planilha eletrˆonica. 6) Determine o valor-verdade (V) ou (F) de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes, considerando R como conjunto universo: a) (∀x)(∀y)(x + 6 < y + 10). b) (∀x)(∃y)(x.y n˜ao ´e par). c) (∃x)(∀y)(x2 > y). d) (∀x)(∃y)(x2 > y). 7) Use l´ogica proposicional para provar a validade dos seguintes argumentos, indicando as proposi¸co˜es envolvidas: a) (Gersting, 2004 p.23) “Se seguran¸ca ´e um problema, ent˜ao o controle ser´a aumentado. Se seguran¸ca n˜ao ´e um problema, ent˜ao os neg´ocios na Internet ir˜ao aumentar. Portanto, se o controle n˜ao for aumentado, os neg´ocios na Internet crescer˜ao.” b) “Se o produto ´e bom, ganha o concurso. Se o produto n˜ao ´e bom, o l´ıder do grupo ´e culpado. Se o produto ganha o concurso, a equipe fica contente. A equipe n˜ao est´a contente. Logo, o l´ıder ´e culpado.”

Leitura Complementar O que ´e L´ogica? Arist´oteles, na Gr´ecia Antiga, foi um dos pioneiros da chamada l´ogica formal, apresentando regras para que um racioc´ınio esteja encadeado corretamente, chegando a conclus˜oes verdadeiras a partir de premissas verdadeiras. No entanto, no s´eculo XIX, alguns matem´aticos e fil´osofos - dentre eles George Boole (18151864), Augustus De Morgan (1806-1871), Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russell (18721970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) - come¸caram a perceber que a l´ogica formal era insuficiente para alcan¸car o rigor necess´ario no estudo da matem´atica, pois essa se apoiava na linguagem natural - aquela que utilizamos no cotidiano, como a l´ıngua portuguesa -, que ´e bastante imprecisa e tornaria a l´ogica vulner´avel a erros de dedu¸c˜oes. Come¸caram, ent˜ao, a criar a l´ogica simb´olica, formada por uma linguagem estrita e universal, constitu´ıda por s´ımbolos espec´ıficos. Entendemos por linguagem um conjunto de s´ımbolos (geralmente visuais ou sonoros) que, dependendo da maneira como s˜ao dispostos em sequˆencia, apresentam signicados distintos. 28

´e culpado. Se o produto ganha o concurso, a equipe fica contente. A equipe n˜ao est´a contente. Logo, o l´ıder ´e culpado.”

Leitura Complementar O que ´e L´ogica? Arist´oteles, na Gr´ecia Antiga, foi um dos pioneiros da chamada l´ogica formal, apresentando regras para que um racioc´ınio esteja encadeado corretamente, chegando a conclus˜oes verdadeiras a partir de premissas verdadeiras. No entanto, no s´eculo XIX, alguns matem´aticos e fil´osofos - dentre eles George Boole (18151864), Augustus De Morgan (1806-1871), Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russell (18721970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) - come¸caram a perceber que a l´ogica formal era insuficiente para alcan¸car o rigor necess´ario no estudo da matem´atica, pois essa se apoiava na linguagem natural - aquela que utilizamos no cotidiano, como a l´ıngua portuguesa -, que ´e bastante imprecisa e tornaria a l´ogica vulner´avel a erros de dedu¸c˜oes. Come¸caram, ent˜ao, a criar a l´ogica simb´olica, formada por uma linguagem estrita e universal, constitu´ıda por s´ımbolos espec´ıficos. Entendemos por linguagem um conjunto de s´ımbolos (geralmente visuais ou sonoros) que, dependendo da maneira como s˜ao dispostos em sequˆencia, apresentam signicados distintos. Por exemplo, um idioma pode ser visto como duas linguagens: uma em que os s´ımbolos usados 28 s˜ao sons (a linguagem falada) e outra em que os s´ımbolos s˜ao visuais (a linguagem escrita). Mas na linguagem escrita, por exemplo, nem todo agrupamento de letras forma uma palavra existente, assim como nem todo agrupamento de palavras forma uma frase bem estruturada. Se algu´em domina a l´ıngua escrita de um determinado idioma, ´e capaz de compreender quando um agrupamento de letras forma uma palavra, e quando um agrupamento de palavras forma uma frase gramaticalmente correta. Mas isso n˜ao ser´a suficiente para qualquer forma de comunica¸ca˜o se n˜ao houver nessas frases outro fator essencial na linguagem: o significado. Percebemos, ent˜ao, que toda linguagem ´e constitu´ıda de dois elementos. A sintaxe consiste no conjunto de s´ımbolos usados e nas regras de forma¸ca˜o de palavras e frases a partir desses s´ımbolos. A semˆantica de uma linguagem ´e a forma como esses s´ımbolos, palavras e frases adquirem um significado, uma interpreta¸ca˜o em algum universo definido. Estabelecer uma linguagem adequada e bem estruturada ´e fundamental para resolvermos e entendermos problemas dos mais variados objetos de estudo. A l´ogica surgiu basicamente com dois prop´ositos: o de formalizar as “leis do pensamento” (essa express˜ao foi utilizada por outro pioneiro da l´ogica: George Boole), que utilizamos constantemente para argumentar e chegar a conclus˜oes corretas a partir de premissas dadas, e o de estabelecer uma linguagem mais apropriada para a matem´atica e a filosofia, para evitar as armadilhas de uma linguagem imprecisa. Para alcan¸car esse prop´osito, a forma¸ca˜o de “palavras” e “frases” na l´ogica deve seguir regras objetivas, para que possamos limitar a linguagem ter controle sobre ela. Isto ´e, para que possamos estudar propriedades gerais sobre as senten¸cas l´ogicas, o que ´e muito dif´ıcil de se conseguir na linguagem natural. Dizemos, ent˜ao, que a l´ogica possui uma sintaxe controlada, livre de contexto, e por isso tem um poder expressivo muito inferior a` linguagem natural. Ela ´e insuficiente para descrevermos sentimentos e outros pensamentos mais complexos, e por esse motivo n˜ao pode substituir a linguagem cotidiana. Por outro lado, quando estudamos assuntos mais restritos, com menos complexidade, por´em com maior exigˆencia de rigor - como ´e o caso da matem´atica - a l´ogica faz-se necess´aria. A linguagem natural ganha em expressividade, e a l´ogica ganha em rigor. A linguagem natural ´e u ´til para a vis˜ao panorˆamica, e a l´ogica ´e u ´til para a vis˜ao detalhada.

frase gramaticalmente correta. Mas isso n˜ao ser´a suficiente para qualquer forma de comunica¸ca˜o se n˜ao houver nessas frases outro fator essencial na linguagem: o significado. Percebemos, ent˜ao, que toda linguagem ´e constitu´ıda de dois elementos. A sintaxe consiste 43 no conjunto de s´ımbolos usados e nas regras de forma¸ca˜o de palavras e frases a partir desses s´ımbolos. A semˆantica de uma linguagem ´e a forma como esses s´ımbolos, palavras e frases adquirem um significado, uma interpreta¸ca˜o em algum universo definido. Estabelecer uma linguagem adequada e bem estruturada ´e fundamental para resolvermos e entendermos problemas dos mais variados objetos de estudo. A l´ogica surgiu basicamente com dois prop´ositos: o de formalizar as “leis do pensamento” (essa express˜ao foi utilizada por outro pioneiro da l´ogica: George Boole), que utilizamos constantemente para argumentar e chegar a conclus˜oes corretas a partir de premissas dadas, e o de estabelecer uma linguagem mais apropriada para a matem´atica e a filosofia, para evitar as armadilhas de uma linguagem imprecisa. Para alcan¸car esse prop´osito, a forma¸ca˜o de “palavras” e “frases” na l´ogica deve seguir regras objetivas, para que possamos limitar a linguagem ter controle sobre ela. Isto ´e, para que possamos estudar propriedades gerais sobre as senten¸cas l´ogicas, o que ´e muito dif´ıcil de se conseguir na linguagem natural. Dizemos, ent˜ao, que a l´ogica possui uma sintaxe controlada, livre de contexto, e por isso tem um poder expressivo muito inferior a` linguagem natural. Ela ´e insuficiente para descrevermos sentimentos e outros pensamentos mais complexos, e por esse motivo n˜ao pode substituir a linguagem cotidiana. Por outro lado, quando estudamos assuntos mais restritos, com menos complexidade, por´em com maior exigˆencia de rigor - como ´e o caso da matem´atica - a l´ogica faz-se necess´aria. A linguagem natural ganha em expressividade, e a l´ogica ganha em rigor. A linguagem natural ´e u ´til para a vis˜ao panorˆamica, e a l´ogica ´e u ´til para a vis˜ao detalhada. Fonte: Fajardo. L´ ogica Matem´ atica (online).

Material Complementar: na Web Veja neste artigo as principais informa¸c˜oes sobre a L´ogica, seus conceitos, usos e aplica¸c˜oes, como no desenvolvimento de algoritmos e na programa¸ca˜o de computadores. L´ogica: uma ferramenta indispens´ avel na programa¸c˜ ao de computadores, dispon´ıvel em .Acesso Acessoem: em:3131mar. mar.2015. 2015. computadores/28386>. de m´aquinas autom´aticas, em especial, a cria¸ ca˜o dos computadores, tendo como base o modelo da M´aquina de Turing. Outroartigo, artigo,a asaber, saber,OOenvolvimento envolvimentodadaMatem´ Matem´ aticacom coma acria¸ cria¸ aodos dosComputadores, Computadores,dede Outro atica c˜ aco˜ Esse artigo est´a dispon´ ıvel em . ElzaFigueiredo FigueiredoChagas, Chagas,mostra mostraa aimportˆ importˆ anciadedeconceitos conceitosmatem´ matem´ aticosnanacria¸ cria¸ modelos Elza ancia aticos ca˜coa˜odedemodelos Acesso em: 16 mar. 2015. de m´ a quinas autom´ a ticas, em especial, a cria¸ c a ˜ o dos computadores, tendo como base o modelo de m´aquinas autom´aticas, em especial, a cria¸ca˜o dos computadores, tendo como base o modelo da M´ a quina de Turing. da M´aquina de Turing. Esseartigo artigoest´ est´ dispon´ ıvelem em. Esse a adispon´ ıvel Acesso em: 16 mar. 2015. Material Livro Acesso em: 16Complementar: mar. 2015. Inicia¸c˜ ao ` a L´ ogica Matem´ atica Autor: Edgard de Alencar Filho Material Complementar:Livro Livro Material Complementar: Editora: Nobel Sinopse: Esse livro aborda diretamente a inicia¸c˜ao `a Inicia¸ ao` aL´ L´ ogicaMatem´ Matem´ atica Inicia¸ ˜ aco˜ a` gica atica l´ogicacmatem´ aotica, de uma forma simples e aprofundada Autor:Edgard EdgarddedeAlencar AlencarFilho Filho Autor: no assunto. Editora:Nobel Nobel Editora: Sinopse: Esselivro livroaborda abordadiretamente diretamentea ainicia¸ inicia¸ Sinopse: Esse c˜aco˜ao`a `a ogicamatem´ matem´ atica,dedeuma umaforma formasimples simplese aprofundada e aprofundada l´ol´ gica atica, no assunto. no assunto.

TEORIA DOS CONJUNTOS

UNIDADE

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

II

Objetivos de Aprendizagem ■■ Perceber situações em que se aplica a noção de conjunto. ■■ Usar a notação da teoria dos conjuntos. ■■ Descrever conjuntos. ■■ Reconhecer os tipos de conjuntos. ■■ Relacionar elemento e conjunto e subconjunto e conjunto. ■■ Efetuar operações com conjuntos. ■■ Perceber a estreita relação entre álgebra de conjuntos e lógica. ■■ Compreender e aplicar o princípio da inclusão e exclusão para determinar o número de elemento na reunião de conjuntos.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Conceitos Primitivos ■■ Descrição de Conjuntos ■■ Igualdade de Conjuntos ■■ Tipos de Conjuntos ■■ Subconjuntos ■■ Conjuntos das Partes ■■ Diagramas de Venn-Euler ■■ Operações com Conjuntos - União, Interseção e Diferença

■■ Produto Cartesiano ■■ Relação entre a Lógica e Álgebra de Conjuntos ■■ Princípio da Inclusão e Exclusão

47

INTRODUÇÃO Introdu¸c˜ ao A teoria de conjuntos ´e considerada a base da Matem´atica Moderna, sendo que muitos conceitos em Matem´atica e outras ciˆencias podem ser expressos de maneira conveniente na linguagem de conjuntos. Como a teoria dos conjuntos ´e indivis´ıvel da l´ogica, na qual a Inform´atica e Ciˆencia da Computa¸ca˜o tˆem as suas ra´ızes, ela ´e amplamente aplicada nessas ´areas, como em banco de

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dados; circuitos integrados; inteligˆencia artificial; sistemas distribu´ıdos e processamento digital de imagens, por exemplo. A teoria dos conjuntos ´e uma teoria relativamente recente, desenvolvida pelo matem´atico russo Georg Cantor (1845-1917), que definiu conjunto como sendo “uma cole¸c˜ao de objetos claramente distingu´ıveis uns dos outros, chamados elementos, e que pode ser pensada como um todo”. Utilizando-se dessa teoria, Cantor e seu colega Richard Dedekind (1831-1916) definiram e classificaram tipos diferentes de infinito. Cantor se tornou a primeira pessoa a entender realmente o significado do infinito e a dar-lhe precis˜ao matem´atica. Ele mostrou que n˜ao existia apenas um infinito, mas um n´ umero infinito de infinitos! Al´em da defini¸ca˜o rigorosa de infinito e de muitas outras contribui¸c˜oes, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da Matem´atica. Utilizamos com muita frequˆencia a no¸ca˜o de conjuntos em nossa vida di´aria. Sempre estamos relacionando objetos a uma determinada cole¸c˜ao: jogadores a um time; passageiros a uma linha de ˆonibus; letras ao alfabeto; cidades a uma regi˜ao do pa´ıs; planetas ao Sistema Solar; popula¸ca˜o de peixes de um reservat´orio etc. Em computa¸c˜ao, uma linguagem de programa¸ca˜o pode ser vista como o conjunto de todos os seus programas poss´ıveis. O conhecimento da teoria dos conjuntos dever´a facilitar a sua capacidade de pensar abstratamente, fornecendo-lhe uma base para melhor compreens˜ao e an´alise para as novas ideias que possam surgir em torno dos conceitos da ciˆencia da computa¸ca˜o.

Conceitos Primitivos Em matem´atica, uma no¸ca˜o ´e estabelecida mediante sua defini¸ca˜o, que por sua vez precisa de outras no¸c˜oes estabelecidas anteriormente. Dessa forma, existe a necessidade de um ponto de partida para as defini¸co˜es; somos obrigados a adotar, sem definir, as “no¸co˜es primeiras”, que s˜ao chamadas no¸co˜es primitivas, ou conceitos primitivos. Os conceitos primitivos da Teoria de Conjuntos s˜ao: • Conjunto • Elemento

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• Rela¸ca˜o de pertinˆencia. Introdução

2

II

N˜ao se pode definir um desses conceitos sem fazer referˆencia aos demais. Com efeito: • Um conjunto pode ser considerado uma cole¸ca˜o n˜ao ordenada e sem repeti¸ca˜o de objetos; uma reuni˜ao de elementos segundo uma caracter´ıstica comum.

• Um elemento ´e um objeto que pode estar no conjunto ou n˜ao. • A rela¸ca˜o de pertinˆencia indica se um elemento pertence a um conjunto ou n˜ao. Se o

elemento pertence ao conjunto ´e porque possui a caracter´ıstica que define aquele conjunto.

Nota¸c˜oes: • Conjuntos: letras latinas mai´ usculas: A, B, C,...

• Pertinˆencia: ∈ Assim, dizemos que p ∈ A para afirmar que p ´e um elemento do conjunto A, e b ∈ / A para indicar que b n˜ao ´e um elemento do conjunto A. Descri¸c˜ ao de conjuntos Podemos descrever um conjunto de v´arias formas. As mais comuns s˜ao: • Pela listagem de seus elementos: Escrevemos seus elementos entre chaves, separados por v´ırgulas e sem repeti¸ca˜o. S´o ´e utilizado quando o n´ umero de elementos do conjunto for pequeno. Por exemplo, se A ´e o conjunto dos meses do ano que come¸cam com a letra J, ent˜ao podemos escrever: A = {janeiro, junho, julho} • Pela caracter´ıstica: Descrevemos as propriedades que caracterizam os elementos do conjunto. Para o exemplo anterior: A = {x | x ´e mˆes do ano que come¸ca com a letra J}. • Por diagrama: Os elementos s˜ao simbolizados por pontos interiores a uma regi˜ao plana, delimitada por uma curva fechada. Por exemplo, o conjunto B = {0, 5, 8} pode ser representado por: 3 TEORIA DOS CONJUNTOS

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• Elementos: letras latinas min´ usculas: a, b, c, x, y, ...

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Seguem outros exemplos de representa¸c˜ao de conjuntos, considerando uma propriedade dos elementos e pela enumera¸c˜ao de seus elementos: a) A = {x| x ´e inteiro e − 2 ≤ x < 4} = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}. b) B = {x| x2 − 3x = 0} = {0, 3}. c) C = {x| x ´e um inteiro ´ımpar, x > 0} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}. d) D = {x | x ´e capital de Pernambuco}= {Recife}. Alguns conjuntos aparecer˜ao com frequˆencia e ser˜ao representados com s´ımbolos especiais: N= conjunto dos n´ umeros naturais:{0, 1, 2, 3, ...}. Z= conjunto dos n´ umeros inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Q= conjunto dos n´ umeros racionais. Q ´e o conjunto de todas as fra¸c˜oes com representa¸ca˜o decimal finita ou infinita peri´odica. 11 7 3 = 0, 75 e = 1, 22222... s˜ao n´ umeros racionais Exemplos: 7 = ; 1 4 9 R= conjunto dos n´ umeros reais. R ´e o conjunto de todos os n´ umeros inteiros, racionais e irracionais. N´ umeros irra√ cionais s˜ao os decimais infinitos e n˜ao peri´odicos, por exemplo 2 = 1, 4142135...; π = 3, 1415926535... C= conjunto dos n´ umeros complexos. C ´e definido como o conjunto de todos os n´ umeros da forma a + bi, sendo a, b n´ umeros reais e i2 = −1.

4 Descricão de Conjuntos

II

Igualdade de Conjuntos Sejam A e B conjuntos.

Diremos que o conjunto A ´e

igual ao conjunto B, denotado por A = B, se, e somente se, todo elemento de A for um elemento de B, e todo elemento de B for um elemento de A. Simbolicamente: A = B ⇔ (∀x)[(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)].

Se um conjunto A tiver ao menos um elemento que n˜ao perten¸ca ao conjunto B (ou vice -versa), dizemos A = B. Os conjuntos {a} e {{a}} s˜ao iguais? (Resposta no gabrito)

#REFLITA #

“O pensamento ´e a presen¸ca do infinito na mente humana.” (Emilio Castelar)

FIM REFLITA

Tipos de Conjuntos ´ o conjunto de todos os entes que s˜ao considerados como elementos • Conjunto Universo: E no contexto em que estamos trabalhando. Nota¸ca˜o: U Exemplo: Quando falamos sobre pessoas, o conjunto universo comp˜oe-se de todas as pessoas do mundo. ´ o conjunto que n˜ao cont´em elementos. Logo, existe apenas um con• Conjunto Vazio: E junto vazio. 5 TEORIA DOS CONJUNTOS

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Por exemplo, se A = {−1, 3, 7} e B = {7, −1, 3, 7, 3}, ent˜ao A = B.

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Nota¸ca˜o: ∅ ou { }. Exemplo: A = {x | x ´e dinossauro vivo}. • Conjunto Unit´ ario: Possui apenas um elemento.   −5 Exemplo: B = {x ∈ R | 2x + 4 = −1} ⇒ B = . 2 • Conjunto Finito: Podemos enumerar seus elementos. Exemplo: C = {x ∈ Z | x ´e par e 2 ≤ x < 10} ⇒ C = {2, 4, 6, 8}. • Conjunto Infinito: N˜ao ´e poss´ıvel enumerar seus elementos.

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Exemplo: D = {x ∈ N | x ´e m´ ultiplo de 5} = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}. Observa¸ c˜ ao: Para representar o conjunto vazio, usamos o s´ımbolo ∅ ou { }, mas nunca o s´ımbolo {∅}, que ´e um conjunto unit´ario cujo elemento ´e o conjunto vazio.

Subconjuntos Um conjunto A ´e um subconjunto de um conjunto B, se todo elemento de A for tamb´em um elemento de B. Podemos dizer que A est´a contido em B ou que B cont´em A, o que ser´a denotado por:

A ⊆ B ou B ⊇ A.

Se A = B, ou seja, se existe pelo menos um elemento de B que n˜ao ´e elemento de A, ent˜ao A ´e um subconjunto pr´ oprio de B, denotando A ⊂ B ou B ⊃ A. A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B). Se A n˜ao for subconjunto de B, escrevemos A ⊂ B. Podemos representar que A ⊂ B pelo seguinte diagrama:

6 Subconjuntos

II

Exemplos: a) Se A = {x | x ´e vogal} e B = {y | y ´e letra do alfabeto}, ent˜ao temos que A ⊂ B. b) Se A = {1, 3, 4, 5, 7, 8}; B = {0, 2, 3, 5, 7} e C = {3, 7}, temos que C ⊂ A e C ⊂ B, mas B ⊂ A, pois os elementos 0 e 2 pertencem a B, mas n˜ao pertencem a A. Resultados Importantes 1. A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). 2. A ⊆ A, para qualquer conjunto A. 3. ∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A. 7 TEORIA DOS CONJUNTOS

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Nos diagramas abaixo, temos a representa¸ca˜o de B como subconjunto de A e tamb´em representa¸c˜oes de casos em que n˜ao existe a rela¸ca˜o de inclus˜ao entre A e B :

53

Analisemos o resultado (3), que afirma que o conjunto vazio ´e subconjunto de qualquer conjunto. Para verificar que essa afirma¸ca˜o ´e verdadeira, devemos provar que, para todo elemento x pertencente ao conjunto vazio, x pertence a A. Mas como x ∈ ∅ ´e sempre falsa, pois n˜ao existe elemento no conjunto vazio, ent˜ao a condicional (∀x)(x ∈ ∅ → x ∈ A) ´e verdadeira. (Lembrar

que uma condicional p → q ´e verdadeira se V(p) ´e F e V(q) ´e V.)

Conjunto das Partes

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Dado um conjunto A, podemos criar um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos de A. Essa classe (ou novo conjunto) ´e chamado conjunto das partes de A ou conjunto potˆencia de A e ser´a denotado P (A). O conjunto P (A) conter´a, pelo menos, ∅ e A, visto que ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Exemplos: a) Se A = {2, 3, 5}, ent˜ao P (A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}. Observamos que {5}, {3, 5} e {2, 3, 5}, por exemplo, s˜ao elementos de P (A). Logo,{5} ∈ P (A), {3, 5} ∈ P (A) e {2, 3, 5} ∈ P (A), mas n˜ao temos que {5} ⊆ P (A), {3, 5} ⊆ P (A) ou {2, 3, 5} ⊆ P (A). Observemos tamb´em que ∅ ⊂ A e ∅ ∈ A. b) Se B = {4, b}, ent˜ao P (B) = {∅, {4}, {b}, {4, b}}. b) Se C = ∅, ent˜ao P (C) = {∅}. d) Se D = {∅}, ent˜ao P (D) = {∅, {∅}}. Podemos notar que existe uma rela¸c˜ao entre o n´ umero de elementos de A e o n´ umero de elementos de P (A) da seguinte forma: “Se A ´e um conjunto com n elementos, ent˜ ao o n´ umero de elementos de P (A) ser´ a 2n ”. Para os exemplos anteriores, • A = {2, 3, 5} tem 3 elementos, e P (A) tem 23 = 8 elementos. • B = {4, b} tem 2 elementos, e P (B) tem 22 = 4 elementos. • C = ∅ tem 0 elementos, e P (C), 20 = 1 elemento. • D = {∅} tem 1 elemento, e P (D), 21 = 2 elementos.

8 Conjunto das Partes

II

Diagramas de Venn-Euler Diagramas de Venn-Euler Os diagramas de Venn-Euler s˜ao universalmente conhecidos e muito usados na Teoria dos Diagramas de Venn-Euler conjuntos. Trata-se de uma representa¸ a˜o de conjuntosconhecidos por meio de a´reas usados delimitadas por dos Os diagramas de Venn-Euler s˜ao cuniversalmente e muito na Teoria curvas no plano. conjuntos. de s˜ uma representa¸ca˜o de conjuntose por meio de a´reas delimitadas Os diagramas de Trata-se Venn-Euler ao universalmente conhecidos muito usados na Teoria dos por O conjunto universo U ´ e representado pelo interior de um retˆ a ngulo, e os outros conjuntos, por curvasTrata-se no plano. conjuntos. de uma representa¸ca˜o de conjuntos por meio de a´reas delimitadas por uma ´ a rea limitada por curvas fechadas, geralmente c´ ırculos. O interior dessas curvas representa, curvasOnoconjunto plano. universo U ´e representado pelo interior de um retˆangulo, e os outros conjuntos, por simbolicamente, a cole¸ o decurvas elementos dointerior conjunto. uma ´auniverso rea limitada fechadas, geralmente O interior dessas curvas representa, O conjunto U c´ea˜por representado pelo de umc´ırculos. retˆangulo, e os outros conjuntos, por simbolicamente, a cole¸cfechadas, a˜o de elementos do conjunto. uma ´area limitada por curvas geralmente c´ırculos. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a cole¸ca˜o de elementos do conjunto. # SAIBA MAIS #

Fonte: John...(online) Leonard Euler (1707-1783), matem´atico sui¸co, representava conjuntosLeonard de objetos por(1707-1783), c´ırculos no plano, eatico por isso esses diaEuler matem´ sui¸co, representava gramas eramEuler chamados de c´ ırculos de Euler. conjuntos de(1707-1783), objetos por c´ ırculos no plano, por isso esses diaLeonard matem´ atico sui¸co,e representava Fonte: Leonard...(online) gramas eram chamados de c´ ırculos de eEuler. conjuntos de objetos por c´ırculos no plano, por isso esses diagramasFonte: eram Leonard...(online) chamados de c´ırculos de Euler. Fonte: Leonard...(online) # FIM SAIBA MAIS # # FIM SAIBA MAIS # # FIM SAIBA MAIS #

Opera¸ c˜ oes com Conjuntos Opera¸ c˜ opodemos es com realizar Conjuntos Em aritm´ etica, opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, multiOpera¸ osubtra¸ es com Conjuntos plica¸ca˜Em oce˜ c ˜ a o de dois ou mais n´ umeros. aritm´etica, podemos realizar opera¸cNos ˜oes conjuntos, de adi¸c˜ao,asmultiopera¸ cplica¸ o˜esede ao, interse¸ ca˜odois e diferen¸ ca, que ao cNos vistas neste ctica, a˜ouni˜ e subtra¸ c˜ao realizar de ou mais n´ umeros. as Em aritm´ podemos opera¸ c˜oes deser˜ adi¸ ˜ao, conjuntos, multit´ o pico, se comportam de maneira semelhante a ` s opera¸ c o ˜ es aritco˜es de o, interse¸ ca˜o n´ e udiferen¸ que ser˜ao vistas plica¸ca˜opera¸ o e subtra¸ c˜aouni˜ deadois ou mais meros.ca, Nos conjuntos, as neste m´eticas dedeadi¸ o,o, multiplica¸ ca˜eomaneira e subtra¸ ca˜que o, respectivamente. pico, seca˜acomportam a`s opera¸ co˜es aritopera¸ ct´ o˜oes uni˜ interse¸ca˜ode diferen¸ ca,semelhante ser˜ao vistas neste Asm´ opera¸ c˜ode es adi¸ entre acoa˜oformas de novos coneticas ca˜de o,conjuntos multiplica¸ e subtra¸ o, respectivamente. t´opico, se comportam maneira s˜ semelhante a`csa˜criar opera¸ co˜es aritjuntos a partir de conjuntos j´ a existentes. opera¸ ˜oes entre cconjuntos s˜acoa˜o,formas de criar novos conm´eticas deAsadi¸ ca˜o, cmultiplica¸ a˜o e subtra¸ respectivamente. partir conjuntoss˜aj´ao existentes. As juntos opera¸ca˜oes entredeconjuntos formas de criar novos conjuntos a partir de conjuntos j´a existentes.

9

©shutterstock

9 TEORIA DOS CONJUNTOS

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# SAIBA MAIS # John Venn (1834-1923), matem´atico inglˆes, desenvolveu e am# SAIBA MAIS # pliou a l´oJohn gica Venn matem´ a tica de George Boole, tornando-se con- e am(1834-1923), matem´ atico inglˆ es, desenvolveu hecido pelos seus diagramas para representar uni˜ o es e interse¸ c˜oes conpliou a (1834-1923), l´ogica matem´ atica ade tornando-se John Venn matem´ ticoGeorge inglˆes, Boole, desenvolveu e amentre aconjunto. hecido seusatica diagramas para representar uni˜oes e interse¸ pliou l´ogicapelos matem´ de George Boole, tornando-se con- c˜oes Fonte: John...(online) hecidoentre pelos conjunto. seus diagramas para representar uni˜oes e interse¸c˜oes Fonte: John...(online) entre conjunto.

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• Uni˜ ao de Conjuntos A uni˜ao de dois conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, ´e o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B; isto ´e:

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A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

Dito de outra forma, A ∪ B ´e o conjunto formado pelos elementos que est˜ao em A, ou em B, ou em ambos. Exemplo: Se A = {−3, 0, 1, 4, 7} e B = {−6, 2, 4, 7, 9, 10}, ent˜ao A ∪ B = {−6, −3, 0, 1, 2, 4, 7, 9, 10}.

• Interse¸c˜ ao de Conjuntos A interse¸ca˜o de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, ´e o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e a B; isto ´e: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Logo, A ∩ B ´e o conjunto dos elementos que est˜ao em A e em B ao mesmo tempo. Quando A ∩ B = ∅, dizemos que A e B s˜ao conjuntos disjuntos. Exemplos: a) Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {2, 3, 6, 7}. Ent˜ao A ∩ B = {3, 4}; B ∩ C = {3, 6, 7} e A ∩ B ∩ C = {3}.

10 Diagramas de Venn-Euler

II

b) Se A = {x ∈ N | x ´e par} e B = {x ∈ R | x2 − 9 = 0}, ent˜ao A ∩ B = ∅, pois A = {0, 2, 4, 6, 8, ...} e B = {−3, 3}.

Na figura seguinte, vemos representa¸c˜oes de interse¸co˜es de conjuntos:

Consideremos U como conjunto universo, e seja A um subconjunto de U. Definimos o comple mentar do conjunto A, denotado por A , como o conjunto dos elementos que pertencem a U mas n˜ao pertencem a A, ou seja: 

/ A} A = {x | x ∈ U e x ∈ Outras nota¸co˜es para o complemento de A: A¯ ou Ac .

Exemplo: Consideremos os conjuntos A = {x ∈ N | x < 12 e x ´e m´ ultiplo de 3} e B = {0, 3, 5, 7}. subconjuntos de U = {x ∈ N | x ≤ 10}. Determinar: 11 TEORIA DOS CONJUNTOS

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Complemento de um Conjunto

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a) A

b) (A ∩ B)



c) (B ∪ A)



Temos que A = {0, 3, 6, 9}; B = {0, 3, 5, 7} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Logo, 

a) A = {x ∈ U | x ∈ A} = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} 

b) (A ∩ B) = {x ∈ U | x ∈ (A ∩ B)} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 

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c) (B ∪ A) = {x ∈ U | x ∈ (B ∪ A)} = {1, 2, 4, 8, 10}. Observa¸c˜ ao: De modo geral, podemos considerar o complementar de um conjunto A em um conjunto B sempre que A ⊂ B, e valem as seguintes propriedades:  

1. (A ) = A, para todo A ⊂ U (o complementar do complementar de um conjunto A ´e o pr´oprio conjunto A). 



2. Se A ⊂ B, ent˜ao B ⊂ A (se um conjunto est´a contido em outro, ent˜ao seu complementar cont´em o complementar desse conjunto).

Diferen¸ca de Conjuntos Outra opera¸c˜ao que pode ser definida entre os conjuntos A e B ´e a diferen¸ca de conjuntos: A − B = {x | x ∈ A e x ∈ / B} ou seja, A − B ´e o conjunto formado por todos os elementos que est˜ao em A mas n˜ao est˜ao em B. Exemplo: Se A = {f, g, h, i, j}; B = {b, c, f, g, i, l, m} e C = {f, g, h}, determinar: a) B − A = {b, c, l, m} b) A − B = {h, j} c) C − A = ∅ Observe que se B ⊂ A, a diferen¸ca A − B ´e igual ao complementar de B em A, ou seja, se  B ⊂ A ent˜ao A − B = B .

12 Diagramas de Venn-Euler

II

Produto Cartesiano

Exemplos de pares ordenados: • (4, c) • (endere¸co, cidade) • ((nome, endere¸co), cidade) Sendo A e B conjuntos, podemos construir o conjunto formado por todos os pares ordenados de elementos de A e de B. Esse conjunto ´e o produto cartesiano (ou produto cruzado) de A e de B, denotado por A × B. A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B} Logo, o produto cartesiano de dois conjuntos A e B ´e o conjunto de todos os pares ordenados cujas primeiras coordenadas perten¸cam a A e as segundas perten¸cam a B. Exemplos: Sejam A = {♥, } e B = {1, 2}. a) A × B = {(♥, 1), (♥, 2), (, 1), (, 2)} b) B × A = {(1, ♥), (1, ), (2, ♥), (2, )} c) A × A = A2 = {(♥, ♥), (♥, ), (, ♥), (, )} 13 TEORIA DOS CONJUNTOS

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O produto cartesiano ´e uma opera¸ca˜o sobre conjuntos que envolve a no¸c˜ao de um par ordenado, que ´e uma sequˆencia ordenada de dois elementos. Se A e B s˜ao dois conjuntos dados, ent˜ao um par ordenado de elementos de A e de B ´e um objeto denotado por (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B. Nesse caso, a ´e o primeiro elemento do par, e b ´e o segundo elemento do par.

59

d) (A × B) × B = {((♥, 1), 1), ((♥, 1), 2), ((♥, 2), 1), ((♥, 2), 2), ((, 1), 1), ((, 1), 2), ((, 2), 1), ((, 2), 2)}.

Exerc´ıcio: a) Considerando os conjuntos A e B acima, determinar A × B × B = {(x, y, z) | x ∈ A, y ∈ B e z ∈ B}.

b) (A × B) × B = (A × B × B)? Explique. Observa¸co ˜es:

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• Notemos que, em geral, a comutatividade n˜ao ´e v´alida, ou seja, em geral, A × B = B × A. • Se B = ∅, temos que A × ∅ = ∅ × A = ∅.

´ Rela¸ c˜ ao entre L´ ogica e Algebra dos Conjuntos ´ Algebra, desde sua origem at´e a sua forma atual, refere-se a c´alculos. Por exemplo, as opera¸c˜oes aritm´eticas b´asicas sobre o conjunto dos n´ umeros reais constituem uma a´lgebra. Informalmente, podemos considerar que uma a´lgebra ´e constitu´ıda de opera¸c˜oes sobre uma cole¸ca˜o de objetos, e ent˜ao ´algebra de conjuntos corresponderia `as opera¸co˜es definidas sobre todos os conjuntos. Ap´os o estudo da a´lgebra de conjuntos (opera¸co˜es de uni˜ao; interse¸ca˜o; complemento; conjunto das partes e produto cartesiano), podemos observar que existe uma rela¸ca˜o direta entre os conectivos l´ogicos introduzidos na unidade anterior e as opera¸c˜oes sobre conjuntos, como segue: ´ CONECTIVO LOGICO nega¸ c˜ ao disjun¸ c˜ ao conjun¸ c˜ ao

˜ SOBRE CONJUNTOS OPERAC ¸ AO 

∼p

complemento

A

uni˜ ao

p∧q

interse¸ c˜ ao

A∪B

p∨q

A∩B

As rela¸c˜oes l´ogicas de implica¸c˜ao e equivalˆencia introduzidas anteriormente tamb´em podem ser associadas com as rela¸c˜oes sobre conjuntos, como segue: ˜ LOGICA ´ RELAC ¸ AO implica¸ c˜ ao equivalˆ encia

˜ SOBRE CONJUNTOS RELAC ¸ AO p⇒q

continˆ encia

p⇔q

igualdade

A⊆B A=B

Observando a rela¸c˜ao entre a equivalˆencia e igualdade de conjuntos, podemos concluir que um conjunto A = B se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. Da mesma forma, as propriedades introduzidas sobre os conectivos l´ogicos na L´ogica s˜ao v´alidas na Teoria dos Conjuntos, substituindo cada conectivo pela correspondente opera¸c˜ao sobre conjuntos. 14 Relação Entre Lógica e Álgebra dos Conjuntos

II

Por exemplo, a propriedade da distributividade da uni˜ao em rela¸c˜ao a` interse¸c˜ao dada por A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), est´a relacionada com a equivalˆencia l´ogica p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Podemos observar a validade da propriedade utilizando diagramas de Venn:













a) (A ∪ B) = A ∩ B b) (A ∩ B) = A ∪ B

Utilize diagramas de Venn para verificar as leis acima.

Princ´ıpio da Inclus˜ ao e Exclus˜ ao Dado um conjunto A, indicaremos por n(A) o n´ umero de elementos de A. Se A e B s˜ao conjuntos finitos disjuntos, ent˜ao n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

15 TEORIA DOS CONJUNTOS

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Exerc´ıcio: Sejam A e B conjuntos quaisquer. As Leis de De Morgan para Teoria dos Conjuntos s˜ao as seguintes:

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Notemos que se A e B s˜ao conjuntos quaisquer, ent˜ao:

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n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Este ´e o chamado Princ´ıpio da Inclus˜ ao-Exclus˜ ao para dois conjuntos. O nome vem do fato de que, ao contar o n´ umero de elementos na uni˜ao de A e B, precisamos “incluir” (contar) o n´ umero de elementos de A e o n´ umero de elementos de B, mas precisamos “excluir” (subtrair) os elementos de A ∩ B para evitar cont´a-los duas vezes. Se A, B e C s˜ao conjuntos quaisquer, ent˜ao Princ´ıpio da Inclus˜ao-Exclus˜ao toma a forma: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

(∗)

A equa¸ca˜o (∗) pode ser generalizada para um n´ umero arbitr´ario de conjuntos. O Princ´ıpio da Inclus˜ao-Exclus˜ao permite resolver problemas de aplica¸co˜es sobre conjuntos. Exemplos: 1) Para participar de uma gincana cultural, os alunos de um col´egio preencheram uma ficha em que tinham a op¸c˜ao de escolher dentre duas atividades propostas, podendo inclusive escolher ambas. Os resultados foram os seguintes: 486 escolheram a atividade I, 365 escolheram a atividade II e 116 alunos escolheram as duas atividades. Quantos alunos 16 Princípio da inclusão e exclusão

II

preencheram a ficha para participar da gincana? Resolu¸c˜ao: Denotando por A o conjunto de alunos que optaram pela atividade I e B como o conjunto dos que optaram pela atividade II, sabemos que: n(A) = 486,

n(B) = 365,

n(A ∩ B) = 116.

Logo, como n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), ent˜ao n(A ∪ B) = 486 + 365 − 116 = 735 de modo que 735 alunos preencheram a ficha.

- Se 486 alunos escolheram a atividade I e 116 deles escolheram as duas atividades, ent˜ao o n´ umero de alunos que escolheu somente a atividade I ´e: 486 - 116 = 370. - Se 365 alunos escolheram a atividade II e 116 deles escolheram as duas atividades, ent˜ao o n´ umero de alunos que escolheu somente a atividade II ´e: 365 - 116 = 249. - Se 370 optaram somente por I, 249 optaram somente por II e 116 escolheram ambas atividades, ent˜ao o n´ umero de alunos que preencheu a ficha foi: 370 + 116 + 249 = 735. (n(A ∪ B) = 370 + 116 + 249 = 735.) 2) Uma rede de academia que oferece v´arias op¸co˜es de atividades f´ısicas fez um levantamento para saber o n´ umero de pessoas matriculadas em nata¸ca˜o(N), muscula¸ca˜o(M) e gin´astica(G), obtendo os seguintes resultados: Atividade

N

M

G

No de alunos 148 256 162

NeM

NeG

MeG

NeMeG

Outras

41

25

52

8

152

17 TEORIA DOS CONJUNTOS

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Resolu¸c˜ao pelo diagrama:

63

Com base nessas informa¸co˜es, determine: a) O n´ umero de pessoas matriculadas. b) O n´ umero de pessoas matriculadas apenas em muscula¸ca˜o. c) O n´ umero de pessoas matriculadas em gin´astica ou nata¸ca˜o. Resolu¸c˜ao pelo diagrama: Construindo o diagrama para o problema, teremos uma vis˜ao de todos os valores envolvidos, e conseguiremos obter as respostas para as diversas perguntas mais facilmente: - Come¸camos sempre colocando o n´ umero de elementos da interse¸c˜ao.

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- Ao colocar o n´ umero de elementos de um conjunto, devemos descontar os da interse¸ca˜o: * n(N ∩ M ) − n(M ∩ N ∩ G) = 41 − 8 = 33. * n(N ∩ G) − n(M ∩ N ∩ G) = 25 − 8 = 17. * n(M ∩ G) − n(M ∩ N ∩ G) = 52 − 8 = 44. * N´ umero de elementos somente de N : 148 − 33 − 8 − 17 = 90. * N´ umero de elementos somente de M : 256 − 33 − 8 − 44 = 171. * N´ umero de elementos somente de G : 162 − 17 − 8 − 44 = 93.

Logo, observando o diagrama podemos concluir que: a) Existem 90 + 171 + 93 + 17 + 33 + 44 + 8 + 152 = 608 pessoas matriculadas. b) 171 pessoas est˜ao matriculadas apenas em muscula¸ca˜o. c) N´ umero de pessoas matriculadas em gin´astica ou nata¸c˜ao = n(N ∪ G) = 93 + 44 + 8 + 17 + 33 + 90 = 285 (ou n(N ∪ G) = 608 − 171 − 152 = 285). 18 Princípio da inclusão e exclusão

II

Considera¸ co ˜es Finais Nesta unidade, vocˆe teve oportunidade de estudar alguns conceitos b´asicos relativos a` teoria dos conjuntos. Conjunto ´e uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para construir estruturas mais complexas. Informalmente, podemos pensar em conjuntos como uma cole¸ca˜o sem repeti¸ca˜o e n˜ao ordenada de objetos denominados elementos ou membros do conjunto. Esses conceitos s˜ao na verdade conceitos primitivos. Conhecemos os tipos de conjuntos, entre eles os conjuntos vazio, unit´ario e universo. Estudamos a rela¸ca˜o de inclus˜ao entre conjuntos, que ocorre sempre que todos os elementos de um conjunto s˜ao tamb´em elementos do outro, estabelecendo o conceito de subconjuntos. Em seguid,a realizamos o estudo da ´algebra de conjuntos, que corresponde `as opera¸co˜es definidas sobre todos os conjuntos: uni˜ao, interse¸ca˜o, complemento, conjunto das partes e produto carte-

unidade anterior e as opera¸co˜es sobre conjuntos, bem como as rela¸co˜es l´ogicas associadas com as rela¸co˜es sobre conjuntos. Uma das aplica¸co˜es dessa associa¸c˜ao entre L´ogica e Teoria dos Conjuntos est´a na Pesquisa Booleana na Web. Na internet, a maioria dos sites de busca permite que o internauta fa¸ca combina¸co˜es entre as palavras que quer pesquisar, e o uso das palavras (ou operadores booleanos) AND (ou .), OR (ou +), NOT (ou -) permite expandir e limitar a busca. Vimos tamb´em que o princ´ıpio da inclus˜ao e exclus˜ao estabelece uma f´ormula para contar o n´ umero de elementos que pertencem a` uni˜ao de v´arios conjuntos n˜ao necessariamente disjuntos, o que permitiu resolver diversos problemas sobre n´ umero de elementos da uni˜ao de uma quantidade finita de conjuntos. Podemos ent˜ao concluir que al´em da defini¸c˜ao rigorosa de infinito e de muitas outras contribui¸co˜es, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da Matem´atica.

Atividades de Autoestudo 1) Classifique as senten¸cas abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F): a) (

) {3} ∈ {1, 2, {3}}.

b) (

) {2} ∈ {∅, 3, {3}, {2, 3}}.

c) (

) {3} ⊂ {1, 2, {3}}.

d) (

) {−4, −2, 1} ⊃ ∅.

e) (

) {3} ∈ {1, 2, 3}. 19

TEORIA DOS CONJUNTOS

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siano. Tamb´em pudemos observar uma rela¸c˜ao direta entre os conectivos l´ogicos introduzidos na

Podemos ent˜ao concluir que al´em da defini¸c˜ao rigorosa de infinito e de muitas outras contribui¸co˜es, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da Matem´atica.

65

Atividades de Autoestudo 1) Classifique as senten¸cas abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F): a) (

) {3} ∈ {1, 2, {3}}.

b) (

) {2} ∈ {∅, 3, {3}, {2, 3}}.

c) (

) {3} ⊂ {1, 2, {3}}.

d) (

) {−4, −2, 1} ⊃ ∅.

e) (

) {3} ∈ {1, 2, 3}.

f) (

) {3} ⊂ {1, 2, 3}.

g) (

) {7, 9} ⊂ {7, 8, {7, 9}}.

h) (

) {{2, 3}} ⊂ {∅, 3, {3}, {2, 3}}.

i) (

) {2, 3, 1} ⊃ {3, 2, 1, 2}.

j) (

) Se B ⊂ A, ent˜ao A ∩ B = A.

k) (

) Se A = {x, y}, ent˜ao A ∩ P (A) = ∅.

19

2) Use a teoria dos conjuntos (diagramas de Venn) para resolver o seguinte problema: (ANPAD-RL-SET-2004 - adaptado) Se “Alguns profissionais s˜ao engenheiros” e “Todos os engenheiros s˜ao pessoas competentes”, ent˜ao, necessariamente, com as proposi¸co˜es apresentadas, pode-se inferir: (a) Algum profissional ´e uma pessoa competente. (b) Toda pessoa competente ´e engenheira. (c) Todo engenheiro ´e profissional. (d) Nenhuma pessoa competente ´e profissional. (e) Nenhum profissional n˜ao ´e competente. 3) Encontre P (A) para A = {a, 5, b}. Podemos concluir que A ⊆ P (A)? E que A ∈ P (A)? 4) O que pode ser dito sobre o conjunto B, se P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}? 5) O que pode ser dito sobre o conjunto B se P (B) = {∅, {x}, {{x}}, {x, {x}}}? 6) Sejam A = {x ∈ Z| 2 ≤ x < 6} B = {x ∈ N| x ≤ 16 e x ´e primo} C = {2, 4, 5, 6, 11} subconjuntos de U = {0, 1, 2, 3, ..., 14, 15}. Encontre: a) A ∪ B. b) A ∩ B ∩ C.

(d) Nenhuma pessoa competente ´e profissional. (e) Nenhum profissional n˜ao ´e competente. 3) Encontre P (A) para A = {a, 5, b}. Podemos concluir que A ⊆ P (A)? E que A ∈ P (A)? 4) O que pode ser dito sobre o conjunto B, se P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}? 5) O que pode ser dito sobre o conjunto B se P (B) = {∅, {x}, {{x}}, {x, {x}}}? 6) Sejam A = {x ∈ Z| 2 ≤ x < 6} B = {x ∈ N| x ≤ 16 e x ´e primo}

C = {2, 4, 5, 6, 11}

subconjuntos de U = {0, 1, 2, 3, ..., 14, 15}. Encontre:

a) A ∪ B. b) A ∩ B ∩ C. c) B ∩ C. d) A − B. 

e) B ∩ B . 

f) (A ∩ B) . g) C − B. 

h) (A ∩ B) ∪ C .

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i) (B − A) ∩ (A − B). j) (B ∩ C) × A. 

k) A ∩ ∅. l) (A ∩ C) ∪ ∅. 7) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, pede-se para determinar: a) O conjunto X tal que X ⊂ A e A–X = B ∩ C. Represente os conjuntos em diagrama de Venn.

b) O conjunto Y =A ∪ B ∪ C. c) O conjunto Y − X. 8) Sejam A = {x | x ´e uma palavra que aparece antes de elefante em um dicion´ario de portuguˆes}. B = {x | x ´e uma palavra que aparece depois de diploma em um dicion´ario de portuguˆes}. C = {x | x ´e uma palavra com mais de cinco letras}. Quais das proposi¸co˜es a seguir s˜ao verdadeiras? a) B ⊆ C. b) A ∪ B = {x | x ´e palavra em um dicion´ario de portuguˆes}.

7) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, pede-se para determinar:

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a) O conjunto X tal que X ⊂ A e A–X = B ∩ C. Represente os conjuntos em diagrama de Venn.

b) O conjunto Y =A ∪ B ∪ C. c) O conjunto Y − X. 8) Sejam A = {x | x ´e uma palavra que aparece antes de elefante em um dicion´ario de portuguˆes}. B = {x | x ´e uma palavra que aparece depois de diploma em um dicion´ario de portuguˆes}. C = {x | x ´e uma palavra com mais de cinco letras}. Quais das proposi¸co˜es a seguir s˜ao verdadeiras? a) B ⊆ C. b) A ∪ B = {x | x ´e palavra em um dicion´ario de portuguˆes}. c) Educa¸c˜ao ∈ B ∩ C. 

d) Doce ∈ B ∩ C . e) Diversidade ∈ A ∩ B ∩ C. 

f) Biblioteca ∈ B . 

g) Camale˜ao ∈ A . h) Bandeira ∈ A − B. 9) A diferen¸ca sim´etrica dos conjuntos A e B, denotada por A ⊕ B, consiste em todos os elementos que pertencem a A ou a B, mas n˜ao a ambos, ou seja, A ⊕ B = {x | x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ / (A ∩ B)} = (A ∪ B) − (A ∩ B). a) Desenhe um diagrama de Venn para ilustrar A ⊕ B. 21 encontre A ⊕ B. b) Para A = {5, 7, 9, 11} e B = {3, 4, 7, 8, 9}, c) Seja A um conjunto qualquer. Encontre (A ⊕ A) e (∅ ⊕ A). 10) (Gersting, 2004) Vamos supor que vocˆe fez um levantamento entre os 87 assinantes de seu boletim informativo, preparando-se para lan¸car seu novo programa de computador, Os resultados de seu levantamento revelam que 68 assinantes tˆem dispon´ıvel um sistema baseado em Windows, 34 tˆem dispon´ıvel um sistema Unix e 30 tˆem acesso a um Mac. Al´em disso, 19 tˆem acesso a ambos, Windows e Unix, 11 tˆem acesso a ambos Unix e Mac, e 23 podem usar tanto Windows quanto Mac. Pergunta-se: a) Quantos de seus assinantes tˆem acesso aos trˆes tipos de sistema? b) Quantos tˆem acesso a no m´aximo um sistema? c) Quantos tˆem dispon´ıvel Windows ou Mac?

11) Em uma avalia¸ca˜o admissional constitu´ıda por duas quest˜oes, 120 candidatos acertaram somente uma delas; 70, a segunda; 38 candidatos acertaram as duas e 82 erraram a

Al´em disso, 19 tˆem acesso a ambos, Windows e Unix, 11 tˆem acesso a ambos Unix e Mac, e 23 podem usar tanto Windows quanto Mac. Pergunta-se: a) Quantos de seus assinantes tˆem acesso aos trˆes tipos de sistema? b) Quantos tˆem acesso a no m´aximo um sistema? c) Quantos tˆem dispon´ıvel Windows ou Mac?

11) Em uma avalia¸ca˜o admissional constitu´ıda por duas quest˜oes, 120 candidatos acertaram somente uma delas; 70, a segunda; 38 candidatos acertaram as duas e 82 erraram a primeira quest˜ao. a) Quantos candidatos fizeram a prova? b) Quantos candidatos erraram as duas quest˜oes? c) Quantos candidatos acertaram somente a primeira quest˜ao?

Leitura Complementar Uni˜ ao Disjunta Quando fazemos a uni˜ao de conjuntos, elementos com mesma identifica¸ca˜o nos dois conjuntos aparecer˜ao somente uma vez no conjunto resultante. Por exemplo, ao fazermos a uni˜ao de A={Terra, Marte, J´ upiter} e B ={Merc´ urio, Vˆenus, Terra, J´ upiter}, o conjunto uni˜ao ser´a A ∪ B ={Merc´ urio, Vˆenus, Terra, Marte, J´ upiter}, n˜ao havendo necessidade de escrever duas vezes os elementos “Terra” e “J´ upiter.” Entretanto, em alguns casos, existe a necessidade de distinguir elementos com uma mesma identifica¸c˜ao, e para isso aplicamos o conceito de uni˜ ao disjunta. A uni˜ao disjunta de conjuntos garante que todos os elementos dos conjuntos componentes constituam o conjunto resultante, mesmo que possuam a mesma identifica¸ca˜o, ou seja, ´e um tipo de uni˜ao que garante que n˜ao existem elementos em comum. 22

b) Quantos candidatos erraram as duas quest˜oes? c) Quantos candidatos acertaram somente a primeira quest˜ao?

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Leitura Complementar Uni˜ ao Disjunta Quando fazemos a uni˜ao de conjuntos, elementos com mesma identifica¸ca˜o nos dois conjuntos aparecer˜ao somente uma vez no conjunto resultante. Por exemplo, ao fazermos a uni˜ao de A={Terra, Marte, J´ upiter} e B ={Merc´ urio, Vˆenus, Terra, J´ upiter}, o conjunto uni˜ao ser´a A ∪ B ={Merc´ urio, Vˆenus, Terra, Marte, J´ upiter}, n˜ao havendo necessidade de escrever duas vezes os elementos “Terra” e “J´ upiter.” Entretanto, em alguns casos, existe a necessidade de distinguir elementos com uma mesma identifica¸c˜ao, e para isso aplicamos o conceito de uni˜ ao disjunta. A uni˜ao disjunta de conjuntos garante que todos os elementos dos conjuntos componentes constituam o conjunto resultante, mesmo que possuam a mesma identifica¸ca˜o, ou seja, ´e um tipo de uni˜ao que garante que n˜ao existem elementos em comum. A t´ecnica para definir uni˜ao disjunta, de maneira a garantir a n˜ao existˆencia de elementos 22 comuns, consiste em associar uma identifica¸ca˜o do conjunto de origem, constituindo um tipo de “sobrenome”. Dessa maneira, os elementos do conjunto resultante da uni˜ao disjunta s˜ao pares da forma (elemento, identifica¸c˜ ao do conjunto de origem). A uni˜ao disjunta dos conjuntos A e B, denotada por A + B, ´e definida por: A + B = {(a, A) | a ∈ A} ∪ {(b, B) | b ∈ B} ou A + B = {aA | a ∈ A} ∪ {bB | b ∈ B} Para exemplificar, consideremos os seguintes conjuntos que representam funcion´arios de uma empresa por setor: Contabilidade: C = {Pedro, Jos´e, Joana, Maria}. Recursos Humanos: RH = {Judith, C´elia, Jos´e, Maria}. Para distinguir os elementos por setor, devemos fazer a uni˜ao disjunta: C + RH= {PedroC , Jos´eC , JoanaC , MariaC , JudithRH , C´eliaRH , Jos´eRH , MariaRH }. Fonte: Menezes (2013, p.64)

Material Complementar: na Web A Hist´oria da Matem´ atica (The story of maths) ´e um document´ario produzido pela BBC de

C + RH= {PedroC , Jos´eC , JoanaC , MariaC , JudithRH , C´eliaRH , Jos´eRH , MariaRH }. Fonte: Menezes (2013, p.64) MATERIAL COMPLEMENTAR

Material Complementar: na Web A Hist´oria da Matem´ atica (The story of maths) ´e um document´ario produzido pela BBC de Londres e pela Open University, que foi transmitido pela televis˜ao britˆanica em outubro de 2008. Foi escolhido como Melhor Document´ario produzido no ano pela esta¸ca˜o BBC, em vota¸c˜ao. Apresentado pelo pesquisador e professor da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, o Document´ario ´e dividido em 4 cap´ıtulos: Cap´ıtulo 1 - A Linguagem do Universo; Cap´ıtulo 2 - O Gˆenio do Oriente; Cap´ıtulo 3 - As Fronteiras do Espa¸co e Cap´ıtulo 4 - Rumo ao Infinito e Mais Al´em. O objetivo do v´ıdeo ´e apresentar o desenvolvimento da Matem´atica e o aprimoramento que ela sofreu ao longo do tempo, com contribui¸ca˜o de sociedades de todo o mundo. A quarta e u ´ltima parte da s´erie aborda alguns dos maiores problemas matem´aticos do s´eculo XX, propostos por David Hilbert em 1900, descrevendo o roteiro de pesquisas para solucion´a-los. Entre esses problemas, encontra-se os trabalhos de Cantor sobre os infinitos. 23 A Hist´oria da Matem´ atica 4 - Al´em do Infinito est´a dispon´ıvel em: . Acesso em 12 abr. 2015. Vale a pena assistir aos v´ıdeos para conhecer um pouco da Hist´oria da Matem´atica!!!

Material Complementar: Livro Matem´ atica Discreta Para Computa¸ c˜ ao e Inform´ atica Vol.16 Autor: Paulo Blauth Menezes Editora: Bookman Sinopse: Apresenta os principais conceitos de matem´atica discreta, explicados e exemplificados. O conte´ udo ´e rigoroso, simples e ´ o livro-texto de Aprendendo matem´ atica discreta com did´atico. E exerc´ıcios, volume 19 da mesma cole¸ca˜o.

RELAÇÕES

UNIDADE

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

III

Objetivos de Aprendizagem ■■ Compreender o conceito de relação. ■■ Identificar pares ordenados pertencentes a uma relação binária. ■■ Reconhecer os tipos de relações binárias. ■■ Determinar o domínio e a imagem de relações. ■■ Representar relações por meio de conjuntos, matrizes e grafos. ■■ Testar se uma relação binária é reflexiva, simétria, transitiva ou antissimétrica. ■■ Reconhecer ordens parciais para relações e construir o diagrama de Hasse para elas. ■■ Desenhar um diagrama PERT de uma tabela de tarefas. ■■ Determinar relações duais e composições de relações.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Relação Binária ■■ Tipos de Relação Binária ■■ Propriedades das Relações ■■ Representação de Relações ■■ Relação de Ordem e Diagrama de Hasse ■■ Diagrama PERT ■■ Relações Duais ■■ Composição de Relações

III

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RELAÇÕES

73

INTRODUÇÃO Introdu¸c˜ ao Muitas vezes, existe uma liga¸ca˜o especial entre elementos de um mesmo conjunto, ou elementos de conjuntos diferentes, que pode ser descrita por uma estrutura chamada rela¸c˜ ao. Em nosso dia a dia sempre estamos utilizando o conceito de rela¸co˜es. Por exemplo, quando afirmamos que Jos´e ´e supervisor de Paulo, estabelecemos a rela¸c˜ao supervisor-funcion´ario. Essa conex˜ao

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diferencia o par (Jos´e, Paulo) de outros pares ordenados de pessoas porque existe uma rela¸ca˜o (supervisor-funcion´ario) que eles satisfazem. O an´alogo matem´atico seria distinguir determinados pares ordenados de objetos de outros pares ordenados porque as componentes dos pares diferenciados satisfazem alguma propriedade que os outros n˜ao satisfazem. V´arios conceitos matem´aticos importantes podem ser vistos como rela¸co˜es, por exemplo =, ≤, ∈, ⊆ . Exemplos similares de rela¸co˜es tamb´em ocorrem quando: - comparamos objetos (maior, menor, igual); - estabelecemos rela¸ca˜o conjugal marido-mulher ou parental pai-m˜ae-filho; - associamos funcion´ario-produtividade; cargo-sal´ario-reajuste; - associamos acadˆemicos com disciplina; paciente-idade-peso-altura; etc. Rela¸co˜es podem ser usadas para resolver problemas tais como: - determinar quais pares de cidades s˜ao ligadas por uma linha de ˆonibus; - estabelecer a rela¸ca˜o entre presa-predador para esp´ecies de determinada regi˜ao; - representar problemas de ordena¸ca˜o de tarefas, em que existem pr´e-requisitos e ordem para a execu¸c˜ao de tarefas em um processo; - elaborar um modo de armazenar informa¸co˜es em bancos de dados computacionais. Nesta unidade, vamos formalizar o conceito de rela¸c˜ao e estudar m´etodos de representa¸ca˜o, tais como matrizes e grafos. As propriedades b´asicas de rela¸c˜oes ser˜ao vistas, e certas classes e opera¸co˜es importantes de rela¸co˜es ser˜ao introduzidas. Veremos posteriormente que uma generaliza¸ca˜o de uma rela¸c˜ao bin´aria forma a base para um banco de dados relacional, amplamente utilizado em computa¸c˜ao.

Rela¸ c˜ ao Bin´ aria Consideremos o exemplo da rela¸c˜ao entre supervisor funcion´ario em uma empresa. Nesta rela¸c˜ao, duas pessoas estar˜ao relacionadas se uma for supervisora da outra. O an´alogo matem´atico considera as rela¸co˜es bin´arias para distinguir a ordem de pares de objetos de outros pares de objetos e seus relacionamentos. ©shutterstock

2

Introdução

III

Sejam A e B conjuntos. Uma rela¸c˜ ao bin´ aria em A × B ´e um subconjunto de A × B. De-

notaremos R(A, B).

Logo, R ´e um conjunto de pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B. Se (a, b) ∈ R, dizemos que “a ´e R-relacionado a b”, escrevendo aRb. Se (a, b) ∈ / R, escrevemos a/ Rb. Uma rela¸ca˜o pode ser apresentada por meio do subconjunto dos pares ordenados de A × B,

ou por meio da defini¸ca˜o de uma regra, em que os pares ordenados escolhidos s˜ao os que satisfazem essa regra. Exemplos: 1) Se temos os conjuntos X = {5, 3} e Y = {2, 3}, ent˜ao o produto cartesiano X × Y =

2) Sejam A = {2, 5} e B = {1, 4, 6}. Ent˜ao A × B = {(2, 1), (2, 4), (2, 6), (5, 1), (5, 4), (5, 6)}. a) Definindo R como {(2, 4), (2, 6), (5, 6)}, podemos escrever R = {(x, y) ∈ A × B | x < y}. Aqui temos que 2R4, 2R6 e 5R6, mas 5 R1, / por exemplo. b) R1 = {(x, y) ∈ A × B| x + y ´e par} = {(2, 4), (2, 6), (5, 1)}. Se A e B s˜ao finitos e com n´ umero reduzido de elementos, podemos representar uma rela¸c˜ao de A em B por meio de um diagrama:

3 RELAÇÕES

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{(5, 2), (5, 3), (3, 2), (3, 3)}. Se estamos interessados em distinguir pares ordenados iguais

(x = y), ent˜ao devemos escolher o par (3, 3) que satisfaz essa rela¸c˜ao. Mas se o interesse fosse determinar os elementos em que a primeira coordenada ´e maior que a segunda (x > y), ent˜ao escolher´ıamos os pares (5, 2), (5, 3) e (3, 2).

75

Dom´ınio e Imagem de uma Rela¸ c˜ ao Seja R uma rela¸ca˜o de A em B. O conjunto A ´e chamado de conjunto de partida, e B ´e o conjunto de chegada, ou contradom´ınio de R. O dom´ınio de R, denotado por Dom(R), ´e o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados que est˜ao em R. A imagem de uma rela¸ca˜o R, denotada por Im(R), ´e o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados que est˜ao em R.

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Observemos que um conjunto de pares ordenados R ´e uma rela¸ca˜o de A para B se, e somente se, Dom(R) ⊆ A e Im(R) ⊆ B.

Exemplos: a) Dados A = {1, 3, 4, 9, 15, 16, 25} e B = {−2, −1, 0, 2, 3, 5, 6} e a rela¸ca˜o R1 = {(x, y) ∈ A × B | x = y 2 }, explicite os elementos (pares) da rela¸ca˜o e determine o conjunto de partida, dom´ınio, contradom´ınio e o conjunto imagem de R1 . • Temos que R1 ´e o conjunto dos pares (x, y) com x ∈ A e y ∈ B tal que x = y 2 : R1 = {(1, −1), (4, −2), (4, 2), (9, 3), (25, 5)}. • Conjunto de partida: A • Contradom´ınio (conjunto de chegada): B • Dom´ınio de R1 : Dom(R1 )= {1, 4, 9, 25}. • Conjunto imagem: Im(R1 )= {-1, -2, 2, 3, 5 }. b) Seja S = conjunto de todas as mulheres de Curitiba e consideremos que xRy ↔ x ´e filha de y, definida em S × S. Temos que o conjunto de partida ´e o conjunto S; o contradom´ınio tamb´em ´e o conjunto S; o dom´ınio de R ´e o conjunto das mulheres de Curitiba que tem m˜ae em Curitiba, e o conjunto imagem (Im(R)) ´e o conjunto das mulheres de Curitiba que tˆem filha(s) em Curitiba. 4 Introdução

III

Exerc´ıcio: Seja A o conjunto dos inteiros entre 0 e 10 (inclusive 10). Seja R o conjunto de todos os pares da forma (x, x2 − 6) que est˜ao em A × A. Determine Dom(R) e Im(R ).

Tipos de Rela¸c˜ oes Bin´ arias Seja R uma rela¸ca˜o bin´aria em A × B, com os pares ordenados da forma (x, y). • R ser´a do tipo um-para-um (ou injetiva, ou biun´ıvoca), se cada primeira componente x e cada segunda componente y do par ordenado aparece uma u ´nica vez na rela¸c˜ao.

Exemplo: A rela¸c˜ao [pessoa] e [n´ umero do CPF]. • R ´e do tipo um para muitos se alguma primeira componente x aparece em mais de um Exemplo: a rela¸ca˜o [m´edico] e [pacientes]. • A rela¸c˜ao ´e dita muitos para um se alguma segunda componente y aparecer em mais de um par. Exemplo: a rela¸ca˜o [funcion´arios] e [supervisor]. • Finalmente, R ´e muitos para muitos se pelo menos um x aparece em mais de um par e pelo menos um y tamb´em aparece em mais de um par. Exemplo: A rela¸c˜ao [fornecedores] e [produtos]: cada fornecedor fornece diferentes produtos e cada produto pode ser fornecido por diferentes fornecedores. As figuras a seguir ilustram essas possibilidades: Um para um

Um para muitos

5 RELAÇÕES

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par.

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Muitos para um

Muitos para muitos

Propriedades das Rela¸co ˜es Uma rela¸c˜ao bin´aria R entre elementos de um conjunto A pode ter certas propriedades. Consideremos x, y e z ∈ A. Ent˜ao, R pode ser: 1

Reflexiva

2

Sim´etrica

3

Anti-sim´etrica

4

Transitiva

xRx xRy ⇒ yRx

xRy e yRx ⇒ x = y xRy e yRz ⇒ xRz

Exemplos: 1) Seja Z o conjunto dos n´ umeros inteiros, e seja R a rela¸ca˜o ≤ sobre Z. Essa rela¸c˜ao ´e: • reflexiva: x ≤ x, para todo x ∈ Z; • antissim´etrica: (x ≤ y) ∧ (y ≤ x) ⇒ x = y, para todo x, y ∈ Z; • transitiva: (x ≤ y) ∧ (y ≤ z) ⇒ x ≤ z, para todo x, y, z ∈ Z. 2) Seja A o conjunto das pessoas de uma cidade e R a rela¸ca˜o sobre A definida por (xRy) ⇔ x ´e pai ou m˜ae de y. Ent˜ao temos que: • R n˜ao ´e reflexiva, pois nunca acontece de uma pessoa ser pai/m˜ae de si pr´opria; • R n˜ao ´e sim´etrica, pois, se x ´e pai ou m˜ae de y, ent˜ao y n˜ao pode ser pai ou m˜ae de x; • R tamb´em n˜ao ´e transitiva, pois se x ´e pai (ou m˜ae) de y e y ´e pai (ou m˜ae) de z, n˜ao implica que x ´e pai (ou m˜ae) de z.

6 Propriedades das Relações

III

Representa¸ c˜ ao de Rela¸c˜ oes Al´em de representar as rela¸co˜es por meio das propriedades dos pares ordenados ou explicitando todos os pares ordenados, tamb´em ´e poss´ıvel fazer a representa¸ca˜o usando diagramas, matrizes de zeros e uns ou grafos direcionados, quando os conjuntos s˜ao finitos. • Diagramas de setas Sejam A e B conjuntos finitos, e R uma rela¸ca˜o de A para B. A representa¸ca˜o de R em diagramas de setas ´e feita escrevendo os elementos de A e os elementos de B em dois discos (conjuntos) disjuntos, ligando com uma seta os elementos a ∈ A que se relacionam com b ∈ B.

Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {x, y, z}, consideremos a rela¸ca˜o de A para B dada por: R = {(1, y), (1, z), (2, y), (3, z), (4, x), (4, z)}.

• Matrizes de Rela¸ c˜ oes Seja R uma rela¸ca˜o de A em B (finitos). Formamos ent˜ao uma matriz retangular, nomeando as linhas pelos elementos de A e as colunas pelos elementos de B. Cada c´elula da matriz cont´em um valor l´ogico: verdadeiro, que ser´a representado por 1, ou falso, que ser´a representado por 0. Colocamos 1 em cada posi¸ca˜o da matriz em que a ∈ A est´a relacionado com b ∈ B, e 0 nas posi¸co˜es em que a ∈ A n˜ao se relaciona com b ∈ B. Essa matriz ´e chamada de matriz rela¸c˜ ao. A matriz da rela¸ca˜o R do exemplo anterior ser´a dada por:

7 RELAÇÕES

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Exemplo

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R

x

y

z

1

0 0 0 1

1 1 0 0

1 0 1 1

2 3 4

• Grafos Orientados

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Se A ´e finito e R ´e uma rela¸c˜ao definida sobre A, ent˜ao podemos descrever o conjunto (A,R) por meio de um grafo (ou d´ıgrafo) de rela¸co˜es: • Cada elemento de A ´e representado por um ponto, chamado de n´ o, nodo ou v´ ertice do grafo. • Ap´os escrevermos todos os elementos do conjunto A, cada par (x, y) da rela¸c˜ao ´e representado como uma seta, arco ou aresta, com origem em x e destino em y.

Exemplos: 1) Consideremos A = {2, 4, 7} e R = {(x, y) ∈ A | x ≥ y}. Ent˜ao R = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (7, 2), (7, 4), (7, 7)}. O grafo para essa rela¸ca˜o ser´a:

2) Explicite a rela¸ca˜o determinada por cada um dos grafos abaixo: a)R1 8 Representação das Relações

III

A rela¸ca˜o ´e: R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}.

A rela¸ca˜o ´e: R2 = {(a, a), (a, c), (b, c), (c, b), (c, c), (d, c)}. c) R3

A rela¸ca˜o ´e: R3 = {(a, a), (b, b), (c, c)}. 3) Representar as rela¸co˜es R1 , R2 e R3 usando matrizes de rela¸co˜es e diagramas de setas. 9 RELAÇÕES

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b) R2

81

• Matriz da rela¸c˜ao:

a)

R1

1

2

3

4

R2

a

b

c

d

R3

a

b

c

1

1 1 0 1

1 1 0 0

0 1 0 0

0 1 1 1

a

1 0 0 0

0 0 1 0

1 1 1 1

0 0 0 0

a

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 3 4

b)

b c d

c)

b c

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• Diagramas de setas:

# SAIBA MAIS # O Problema do Caixeiro Viajante O problema do caixeiro viajante ´e um problema muito famoso e muito estudado. Um caixeiro viajante, partindo de sua cidade, deve visitar exatamente uma u ´nica vez cada cidade de uma dada lista e retornar para casa, de modo que a distˆancia total percorrida seja a menor poss´ıvel. Este problema tem in´ umeras aplica¸co˜es pr´aticas, como minimiza¸ca˜o de rotas de ve´ıculos, confec¸c˜ao de sistemas digitais, sequenciamento de atividades e outros. No dom´ınio da teoria dos grafos, cada cidade ´e identificada com um n´o (ou v´ertice) e as rotas que ligam cada par de n´os s˜ao identicadas como arcos (ou arestas). A cada uma destas 10 Representação das Relações

III

# SAIBA MAIS # O Problema do Caixeiro Viajante O problema do caixeiro viajante ´e um problema muito famoso e muito estudado. Um caixeiro viajante, partindo de sua cidade, deve visitar exatamente uma u ´nica vez cada cidade de uma dada lista e retornar para casa, de modo que a distˆancia total percorrida seja a menor poss´ıvel. Este problema tem in´ umeras aplica¸co˜es pr´aticas, como minimiza¸ca˜o de rotas de ve´ ıculos, confec¸ c˜ao de sistemas digitais, sequenciamento de atividades Se e outros. linhas estar˜ ao associadas as distˆ ancias (ou custos) correspondentes. o n´ umero de cidades

FIM SAIBA MAIS

Rela¸ c˜ ao de Ordem Algumas rela¸co˜es organizam os objetos relacionados em n´ıveis. Podemos, por exemplo, organizar os funcion´arios Rela¸ c˜ ao de Ordem de uma empresa por faixa salarial, dizendo que xRy se, e Algumas rela¸ esa organizam os objetos em somente se, xco˜est´ na mesma faixa salarialrelacionados de y ou em faixa n´ ıveis. Podemos, por exemplo, organizar os funcion´ a rios salarial inferior a` de y. de uma empresa por seriam faixa salarial, dizendo que xRyde se,um e Outros exemplos relacionar os moradores somente se, x est´ a naxRy mesma salarial de y ou em faixa pr´edio dizendo que ⇔ faixa x mora no mesmo andar de y salarial inferior a ` de y. ou em andar abaixo ao de y; organizar as cidades de um Outros relacionar moradores umeestado porexemplos sua a´rea seriam ou popula¸ ca˜o; asos tarefas que s˜ade o pr´ pr´ edio dizendo xRy ⇔ mora no mesmo artigo, andar de requisitos paraque a fabrica¸ c˜aox de determinado ou yo ou em andar abaixo ao dedey;um organizar cidades processo desde a compra produto as online at´e de suaum enestado trega. por sua a´rea ou popula¸ca˜o; as tarefas que s˜ao pr´e- ©shutterstock requisitos para a fabrica¸c˜ao de determinado artigo, ou o processo desde de um produto onlineosat´ e sua enA inclus˜ ao adecompra conjuntos tamb´ em organiza objetos em n´ıveis: trega. Propriedades da Inclus˜ ao: 1. inclus˜ Para atodo temos A ⊆ A. A o de conjunto conjuntosA,tamb´ em que organiza os objetos em n´ıveis: Propriedades da Inclus˜ ao: RELAÇÕES 2. Para quaisquer conjuntos A e B, se A ⊆ B e B ⊆ A, ent˜ao A = B.

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No dom´ınio teoria dos grafos, cada cidade ´e identificada o (ou v´eaumenta, rtice) e aso ´e pequeno, fica da f´acil determinar o melhor caminho, mas se o n´ ucom meroum den´ cidades rotas que ligam cada par de n´ o s s˜ a o identicadas como arcos (ou arestas). A cada uma destas n´ umero de percursos alternativos cresce assustadoramente. linhas estar˜ a o associadas as distˆ a ncias (ou custos) correspondentes. Se o n´ u mero de cidades E se o caixeiro estivesse em Bras´ılia e quisesse percorrer as capitais de todos os 26 estados 10 ´ebrasileiros? pequeno, fica f´acil determinar o melhor caminho, mas se o n´ umero de cidades aumenta, o n´ u mero de percursos alternativos cresce assustadoramente. Em http://www.uff.br/sintoniamatematica/grandestemaseproblemas/grandestemaseproblemasE se o caixeiro estivesse em Bras´ ılia e quisesse asumero capitais dede todos os 26 html/audio-caixeiro-br.html vocˆ e encontrar´ a os c´apercorrer lculos do n´ total formas de estados ordenar brasileiros? as 26 cidades e o tempo que seria gasto para fazer as contas das distˆancias de todos os percursos Em http://www.uff.br/sintoniamatematica/grandestemaseproblemas/grandestemaseproblemasposs´ ıveis do caixeiro para visitar as 26 capitais. Os n´ umeros s˜ao impressionantes! html/audio-caixeiro-br.html vocˆe encontrar´a os c´alculos do n´ umero total de formas de ordenar as 26FIM cidades e o tempo SAIBA MAIS que seria gasto para fazer as contas das distˆancias de todos os percursos poss´ıveis do caixeiro para visitar as 26 capitais. Os n´ umeros s˜ao impressionantes!

pr´edio dizendo que xRy ⇔ x mora no mesmo andar de y

ou em andar abaixo ao de y; organizar as cidades de um estado por sua a´rea ou popula¸ca˜o; as tarefas que s˜ao pr´e-

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requisitos para a fabrica¸c˜ao de determinado artigo, ou o processo desde a compra de um produto online at´e sua entrega. A inclus˜ao de conjuntos tamb´em organiza os objetos em n´ıveis: Propriedades da Inclus˜ ao: 1. Para todo conjunto A, temos que A ⊆ A. 2. Para quaisquer conjuntos A e B, se A ⊆ B e B ⊆ A, ent˜ao A = B. 3. Para todos os conjuntos A, B, C, se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜ao A ⊆ C.

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Qualquer rela¸c˜ao que tem as mesmas propriedades que a inclus˜ao tamb´em organiza objetos em n´ıveis. Defini¸c˜ ao: Seja A um conjunto e R uma rela¸ca˜o em A × A. Dizemos que R ´e uma rela¸ c˜ ao de ordem parcial em A se R ´e reflexiva, antissim´etrica e transitiva. (A, R) ´e chamado de conjunto parcialmente 11 ordenado (tamb´em conhecido como poset partially ordered set), que ser´a denotado por (A, ). Essa nota¸ca˜o se deve ao fato da rela¸ca˜o de ordem mais comum em qualquer subconjunto de n´ umeros reais, conhecida como ordem usual, ser a rela¸ca˜o “≤” (“menor ou igual”). Se R ´e uma rela¸c˜ao parcial de ordem sobre A, ent˜ao os elementos a, b ∈ A se dizem compar´aveis mediante R se a  b ou b  a. Se dois elementos quaisquer de A forem compar´aveis segundo a rela¸ca˜o R, ent˜ao R ser´a chamada de rela¸ c˜ ao de ordem total sobre A, e A ser´a chamado de conjunto totalmente ordenado. Exemplos: 1) Em R, xRy ⇔ x ≤ y ´e uma rela¸ca˜o de ordem total: • x ≤ x; • x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y; • x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z. 2) Em N, xRy ⇔ x divide y ´e uma rela¸ca˜o de ordem parcial em N : • x divide x; • se x divide y e y divide x, ent˜ao x = y; • se x divide y e y divide z, ent˜ao x divide z. A ordena¸ca˜o ´e parcial pois nem todos n´ umeros naturais se relacionam segundo R. Os n´ umeros 5 e 13, por exemplo, n˜ao se relacionam pois 5 n˜ao divide 13. 3) A rela¸ca˜o de divisibilidade n˜ao ´e uma ordem parcial no conjunto Z dos inteiros, pois n˜ao satisfaz a propriedade antissim´etrica. Por exemplo, temos que -3 divide 3 e 3 divide -3, mas −3 = 3. Relação de Ordem

• x divide x;

III

• se x divide y e y divide x, ent˜ao x = y; • se x divide y e y divide z, ent˜ao x divide z. A ordena¸ca˜o ´e parcial pois nem todos n´ umeros naturais se relacionam segundo R. Os n´ umeros 5 e 13, por exemplo, n˜ao se relacionam pois 5 n˜ao divide 13. 3) A rela¸ca˜o de divisibilidade n˜ao ´e uma ordem parcial no conjunto Z dos inteiros, pois n˜ao satisfaz a propriedade antissim´etrica. Por exemplo, temos que -3 divide 3 e 3 divide -3, mas −3 = 3. Predecessores e Sucessores Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado. Se x  y, ent˜ao x = y ou x = y. Se x  y mas x = y, • Escrevemos x ≺ y

• Chamamos y de sucessor de x 12 • Se x ≺ y e se n˜ao existe outro elemento z entre x e y (n˜ao existe z tal que x ≺ z ≺ y), ent˜ao x ´e um predecessor imediato de y.

Exemplo: Consideremos a rela¸c˜ao x divide y em A = {1, 2, 3, 6, 12, 18}. a) Escreva a rela¸c˜ao R como um conjunto de pares ordenados. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 3), (1, 6), (1, 12), (1, 18), (2, 2), (2, 6), (2, 12), (2, 18), (3, 3), (3, 6), (3, 12), (3, 18), (6, 6), (6, 12), (6, 18), (12, 12), (18, 18)}. b) Escreva todos os predecessores de 6. {1, 2, 3}. c) Escreva todos os predecessores imediatos de 6. {2, 3}. (1 n˜ao ´e predecessor imediato de 6, pois 1 divide 2 e 1 divide 3 tamb´em).

#PARA REFLETIR #

“O estudo ´e uma esp´ecie de alimento natural da mente.” (Robert Louis Stevenson)

#FINAL PARA REFLETIR#

Diagrama de Hasse RELAÇÕES Se A for um conjunto finito, podemos representar visualmente um conjunto parcialmente

ordenado (A, ) por um diagrama de Hasse (Helmut Hasse [1898-1979], matem´atico alem˜ao).

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• Chamamos x de predecessor de y

b) Escreva todos os predecessores de 6. b) Escreva todos os predecessores de 6. {1, 2, 3}. {1, 2, 3}.

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c) Escreva todos os predecessores imediatos de 6. c) Escreva todos os predecessores imediatos de 6. {2, 3}. (1 n˜ao ´e predecessor imediato de 6, pois 1 divide 2 e 1 divide 3 tamb´em). {2, 3}. (1 n˜ao ´e predecessor imediato de 6, pois 1 divide 2 e 1 divide 3 tamb´em).

#PARA REFLETIR # #PARA REFLETIR # “O estudo ´e uma esp´ecie de alimento natural da mente.” (Robert Louis Stevenson) “O estudo ´e uma esp´ecie de alimento natural da mente.” (Robert Louis Stevenson)

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#FINAL PARA REFLETIR# #FINAL PARA REFLETIR#

Diagrama de Hasse Diagrama de Hasse Se A for um conjunto finito, podemos representar visualmente um conjunto parcialmente Se A for um conjunto finito, podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado (A, ) por um diagrama de Hasse (Helmut Hasse [1898-1979], matem´atico alem˜ao). ordenado (A, ) por um diagrama de Hasse (Helmut Hasse [1898-1979], matem´atico alem˜ao). Nesses diagramas, cada elemento de A ´e representado por um ponto, denominado n´ o ou v´ertice Nesses diagramas, cada elemento de A ´e representado por um ponto, denominado n´ o ou v´ertice do diagrama. Se x ´e um predecessor imediato de y, o n´o que representa y ´e colocado acima do do diagrama. Se x ´e um predecessor imediato de y, o n´o que representa y ´e colocado acima do n´o que representa x, e os dois n´os s˜ao ligados por um segmento de reta. n´o que representa x, e os dois n´os s˜ao ligados por um segmento de reta. Como na rela¸ca˜o de ordem valem as propriedades reflexiva e transitiva, podemos omitir as Como na rela¸ca˜o de ordem valem as propriedades reflexiva e transitiva, podemos omitir as arestas (ou setas) nos segmentos. Tamb´em, como a rela¸c˜ao ´e antissim´etrica, jamais ocorrer´a arestas (ou setas) nos segmentos. Tamb´em, como a rela¸c˜ao ´e antissim´etrica, jamais ocorrer´a um ciclo, excetuando-se arcos com origem e destino num mesmo nodo. Logo, esses arcos podem um ciclo, excetuando-se arcos com origem e destino num mesmo nodo. Logo, esses arcos podem ser omitidos. ser omitidos. Para se construir Diagramas de Hasse: Para se construir Diagramas de Hasse: - O Diagrama de Hasse de um conjunto munido de uma rela¸c˜ao de ordem (A,R) ´e o grafo no qual os v´ertices s˜ao elementos de A. 13 13 - Existir´a uma aresta de um v´ertice a para um v´ertice b sempre que a ≺ b. - Ao inv´es de desenhar uma seta de a para b, coloca-se b mais alto do que a e desenha-se uma linha entre eles. - Fica subentendido que o movimento para cima indica sucess˜ao. Como exemplo, consideremos o conjunto parcialmente ordenado ({1, 2, 3}, ≤) = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. Essa rela¸c˜ao de ordem pode ser representada como grafo (esquerda) e como diagrama de Hasse (direita).

Diagrama de Hasse

- O Diagrama de Hasse de um conjunto munido de uma rela¸c˜ao de ordem (A,R) ´e o grafo no qual os v´ertices s˜ao elementos de A.

III

- Existir´a uma aresta de um v´ertice a para um v´ertice b sempre que a ≺ b. - Ao inv´es de desenhar uma seta de a para b, coloca-se b mais alto do que a e desenha-se uma linha entre eles. - Fica subentendido que o movimento para cima indica sucess˜ao. Como exemplo, consideremos o conjunto parcialmente ordenado ({1, 2, 3}, ≤) = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. Essa rela¸c˜ao de ordem pode ser representada como grafo (esquerda) e como diagrama de Hasse (direita).

Exemplo: Observando o diagrama de Hasse a seguir, podemos concluir que a rela¸ca˜o de ordem  em A = {a, b, c, d, e, f } estabelece o conjunto {(a, a), (b.b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f ), (a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (d, e)}.

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RELAÇÕES

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O diagrama de Hasse de um conjunto parcialmente ordenado cont´em toda a informa¸c˜ao sobre a ordem parcial. Podemos reconstruir o conjunto de pares ordenados analisando o diagrama: observamos os pares (predecessor, sucessor) e consideramos as propriedades reflexiva, antissim´etrica e transitiva.

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Diagramas PERT

Diagrama PERT Problemas de ordena¸ca˜o de tarefas podem ser representados de maneira natural por ordens parciais e diagramas de Hasse. Se A ´e um conjunto de tarefas a serem executadas, a ideia de x como predecessor de y pode ser interpretada significando que a tarefa x tem que ser executada antes da tarefa y, e a ordem parcial neste conjunto pode ser definida como: x  y ↔(tarefa x = tarefa y)

ou

(a tarefa x ´e pr´e-requisito para tarefa y).

Al´em disso, x ≺ y ↔ a tarefa x ´e pr´e-requisito para a tarefa y. Consideremos o seguinte exemplo de agendamento de tarefas sobre a constru¸ca˜o de cadeiras de balan¸co: Tarefa

Pr´e-requisitos Horas para conclus˜ao

1.

Sele¸ca˜o da madeira

N/A

3

2.

Entalhamento dos arcos

1

4

3.

Entalhamento do assento

1

6

4.

Entalhamento do encosto

1

7

5.

Entalhamento dos bra¸cos

6.

Escolha do tecido

7.

Costura da almofada

8. 9. 10. 11. 12.

1

3

N/A

1

6

7

Montagem: assento e encosto

3; 4

2

Fixa¸ca˜o dos bra¸cos

5; 8

2

Fixa¸ca˜o dos arcos

2; 8

3

Verniz

9; 10

5

Instala¸ca˜o da almofada

7; 11

0.5

Tabela 1: Agendamento de tarefas sobre a constru¸ca˜o de cadeiras de balan¸co Fonte: adaptada de Gersting (2009, p.218).

15

Diagrama PERT

III

No diagrama de Hasse, para essa ordem parcial, os n´os s˜ao as tarefas, os arcos as rela¸co˜es de precedˆencia, e a cada n´o pode ser adicionado o tempo necess´ario para a conclus˜ao da tarefa. Tamb´em podemos orientar o diagrama da esquerda para a direita, para representar que x < y. Tais diagramas para a ordena¸ca˜o de tarefas s˜ao chamados de diagramas PERT - Program Evaluation and Review Technique, que significa t´ ecnica para an´ alise e revis˜ ao do programa. Essa t´ecnica foi desenvolvida para o Planejamento e Controle de Projetos em torno de 1950, para acompanhamento de constru¸c˜ao de submarinos para a marinha americana. Como exemplos de Projetos que podem utilizar PERT podemos citar: 1. Constru¸c˜ao de uma planta, na a´rea de engenharia. 2. Pesquisa e desenvolvimento de um produto.

4. Constru¸c˜ao de navios. 5. Instala¸c˜ao de um sistema de informa¸co˜es. 6. Condu¸c˜ao de campanhas publicit´arias, entre outras. A figura a seguir mostra o diagrama PERT para o exemplo da produ¸ca˜o das cadeiras de balan¸co (aos n´os foram associados os n´ umeros das tarefas, ao inv´es dos nomes):

O tempo para a fabrica¸ca˜o de uma cadeira de balan¸co ´e 38,5 horas se cada atividade for realizada uma por vez. No entanto, existem atividades que podem ser realizadas simultaneamente com outras atividades, podendo com isso, reduzir o tempo necess´ario para se completar o projeto. Posteriormente faremos uma an´alise mais detalhada desse problema e do seu diagrama, para responder quest˜oes tais como: 16 RELAÇÕES

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3. Produ¸c˜ao de filmes.

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1) Qual o tempo total requerido para completar o projeto se nenhum atraso ocorrer? 2) Quais as atividades que n˜ao podem sofrer atrasos para que o projeto seja executado sem atraso (“Atividades Gargalos”)?

Rela¸ c˜ oes Duais Se R ´e uma rela¸c˜ao qualquer de A em B, podemos definir a rela¸c˜ ao dual de B em A, denotada por R−1 da seguinte forma: R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}. Se R : A → B, ent˜ao R−1 : B → A tamb´em pode ser chamada de rela¸c˜ao inversa ou oposta.

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Exemplo: Se R = {(3, k), (m, 7), (n, p)}, ent˜ao R−1 = {(k, 3), (7, m), (p, n)}.

Composi¸ c˜ ao de Rela¸co ˜es Sejam A, B e C conjuntos, e seja R uma rela¸c˜ao de A para B e S uma rela¸c˜ao de B para C. Ent˜ao R e S podem originar uma rela¸c˜ao de A para C, chamada de composi¸ca˜o de R e S, denotada por R ◦ S, definida por: R ◦ S = {(a, c)| existe b ∈ B para o qual aRb e bRc}. Observa¸ co ˜es: 1) Em computa¸c˜ao e inform´atica, ´e usual representar a opera¸c˜ao de composi¸ca˜o por “ ; ”. Assim, se R : A → B e S : B → C, a composi¸ca˜o R ◦ S : A → C ´e denotada por R;S : A → C 2) Em muitos textos, a nota¸c˜ao para a composi¸c˜ao de R e S ´e (S ◦ R). 17 Relações Duais

III

3) R ◦ S ´e vazia se a interse¸ca˜o da imagem de R e do dom´ınio de defini¸c˜ao de S for vazia. Exemplos: 1) Sejam A = {4, 5, 6}; B = {a, b, c, d} e C = {x, y, z} e consideremos as rela¸co˜es R : A → B

e S : B → C dadas por:

R = {(4, b), (5, c), (5, d), (6, a), (6, d)} S = {(a, x), (a, z), (b, y)} Observemos o diagrama de setas para R e S como na figura a seguir:

4(R ◦ S)y

j´a que

4Rb e bSy.

Da mesma maneira, podemos observar que existe um caminho de 6 para a e de a para x, bem como de a para z. Logo, 6(R ◦ S)x e 6(R ◦ S)z. Nenhum outro elemento de A est´a conectado a um elemento de C, logo, R ◦ S = {(4, y), (6, x), (6, z)}. A composta R ◦ S pode ser representada por: 18 RELAÇÕES

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Temos que existe uma seta de 4 para b, que ´e seguida por uma seta de b para y. Logo, o elemento 4 ∈ A est´a conectado ao elemento y ∈ C. Logo,

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2) Consideremos o quadro que fornece a lista de funcion´arios de uma empresa relacionados com o projeto que est˜ao desenvolvendo e as fun¸c˜oes que est˜ao exercendo: Nome

Projeto

Fun¸ c˜ ao

Jo˜ao Silva

P1

Consultor

Jo˜ao Silva

P2

Analista de Sistema

C. Xavier

P2

Analista de Sistema

C. Xavier

P3

Programador

Maria Souza

P1

Progamador

Se consideramos as rela¸co˜es R1 = Nome→Projeto e R2 = Projeto→Fun¸c˜ao, temos que a composta R = (R1 ◦ R2 ) = Nome→Fun¸ca˜o. ao → Nome, que ser´a dada por {(Consultor, Jo˜ao Tamb´em podemos determinar R−1 : Fun¸c˜ Silva), (Analista de Sistema, Jo˜ao Silva), (Analista de Sistema, C. Xavier), (Programador, C. Xavier), (Programador, Maria Souza)}.

Considera¸ co ˜es Finais Os elementos de um conjunto ou elementos de conjuntos diferentes muitas vezes apresentam liga¸co˜es especiais entre si que podem ser descritas como uma rela¸c˜ao. Nesta unidade, fizemos o estudo de rela¸c˜oes, cujo conceito formal est´a muito pr´oximo do conceito intuitivo. No cotidiano, usamos a ideia de rela¸c˜ao para grau de parentesco; fila de pessoas para caixa de um banco; grupo de amigos em redes sociais etc. Podemos citar como exemplos de rela¸co˜es j´a estudadas nas unidades anteriores a igualdade e a continˆencia, para Teoria dos Conjuntos, e a equivalˆencia e implica¸ca˜o, para L´ogica. Em computa¸c˜ao e em inform´atica, muitas constru¸c˜oes s˜ao baseadas em rela¸co˜es ou derivados de rela¸c˜oes, podendo-se exemplificar banco de dados relacional e Rede de Petri. Nesta unidade, formalizamos o conceito de rela¸ca˜o e estudamos m´etodos de representa¸c˜ao, tais como diagramas de flechas, matrizes e grafos. As propriedades b´asicas das rela¸c˜oes tamb´em foram vistas, e certas classes importantes de rela¸co˜es, como as rela¸co˜es de ordem, foram introduzidas. Para as rela¸co˜es de ordem, em que valem as propriedades reflexiva, antissim´etrica e 19 Consideração Finais

III

transitiva, vimos que a representa¸ca˜o por grafos pode ser simplificada e v´arias setas podem ser omitidas, o que foi definido como diagrama de Hasse. O caso particular de uma rela¸ca˜o bin´aria, em que objetos est˜ao relacionados por “pr´e-requisito” (ordena¸c˜ao parcial em um conjunto de tarefas), foi exemplificado utilizando como representa¸ca˜o o diagrama PERT. Esses diagramas ser˜ao utilizados posteriormente para se determinar o tempo m´ınimo para completar um projeto e seu caminho cr´ıtico. Por fim, as opera¸co˜es de dualidade, correspondendo `a no¸ca˜o de “virar” ou “inverter” a rela¸ca˜o, bem como a composi¸c˜ao de rela¸co˜es, ou seja, a aplica¸c˜ao de uma rela¸ca˜o sobre o resultado de outra, tamb´em foram apresentadas e exemplificadas. Para fixar os conceitos apresentados, ´e importante que vocˆe fa¸ca as atividades de autoestudo e esclare¸ca as poss´ıveis d´ uvidas que possam surgir.

1) Considere a tabela que fornece a rela¸ca˜o dos sete pa´ıses melhores colocados no quadro de medalhas geral das Olimp´ıadas de Londres 2012, com o n´ umero de medalhas e o continente a que pertencem: Pa´ıs

N´ umero de medalhas

Continente

Estados Unidos

104

China

88

Am´erica ´ Asia

Reino Unido

65

Europa

R´ ussia

82

Coreia do Sul

28

´ Eur´asia (Europa e Asia) ´ Asia

Alemanha

44

Europa

Fran¸ca

34

Europa

Construir o diagrama de flechas e matriz para representar a rela¸ca˜o R : A → B, sendo A o conjunto dos sete pa´ıses melhores colocados no quadro de medalhas geral das Olimp´ıadas de Londres 2012, e B o conjunto dos continentes. 2) Seja R a seguinte rela¸c˜ao em A = {0, 1, 3, 4}: R = {(0, 3), (0, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4)}. a) Encontre a matriz da rela¸c˜ao. b) Construir o grafo orientado para a rela¸ca˜o. c) Determinar o dom´ınio e a imagem de R. d) Ache a rela¸ca˜o composta R ◦ R. 20 RELAÇÕES

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Atividades de Autoestudo

resultado de outra, tamb´em foram apresentadas e exemplificadas. Para fixar os conceitos apresentados, ´e importante que vocˆe fa¸ca as atividades de autoestudo 93 e esclare¸ca as poss´ıveis d´ uvidas que possam surgir.

Atividades de Autoestudo 1) Considere a tabela que fornece a rela¸ca˜o dos sete pa´ıses melhores colocados no quadro de medalhas geral das Olimp´ıadas de Londres 2012, com o n´ umero de medalhas e o continente a que pertencem: Pa´ıs

N´ umero de medalhas

Continente

Estados Unidos

104

China

88

Am´erica ´ Asia

Reino Unido

65

Europa

R´ ussia

82

Coreia do Sul

28

´ Eur´asia (Europa e Asia) ´ Asia

Alemanha

44

Europa

Fran¸ca

34

Europa

Construir o diagrama de flechas e matriz para representar a rela¸ca˜o R : A → B, sendo A o conjunto dos sete pa´ıses melhores colocados no quadro de medalhas geral das Olimp´ıadas de Londres 2012, e B o conjunto dos continentes. 2) Seja R a seguinte rela¸c˜ao em A = {0, 1, 3, 4}: R = {(0, 3), (0, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4)}. a) Encontre a matriz da rela¸c˜ao. b) Construir o grafo orientado para a rela¸ca˜o. c) Determinar o dom´ınio e a imagem de R. d) Ache a rela¸ca˜o composta R ◦ R. e) Ache a rela¸ca˜o dual R−1 .

20

3) Para cada uma das rela¸co˜es bin´arias R a seguir, definidas em N, decida quais dos pares ordenados dados pertencem a R : a) xRy ↔ x + y ≤ 6;

(1,4), (2,4), (2,5), (3,3), (4,1), (4,3).

b) xRy ↔ x = y − 2;

(0,2), (1,3), (3,1), (5,2), (6,8), (7,5), (9,11).

c) xRy ↔ 2x + 3y = 10;

(5,0), (2,2), (3,1), (1,3).

4) Classifique cada das uma das rela¸c˜oes a seguir como um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos: a) R = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (4, 3)}. b) R = {(2, 7), (4, 5), (3, 6), (7, 10)}. c) R = {(2, 5), (6, 1), (8, 6), (9, 1)}. d) R = (2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1).

3) Para cada uma das rela¸co˜es bin´arias R a seguir, definidas em N, decida quais dos pares ordenados dados pertencem a R : a) xRy ↔ x + y ≤ 6;

(1,4), (2,4), (2,5), (3,3), (4,1), (4,3).

b) xRy ↔ x = y − 2;

(0,2), (1,3), (3,1), (5,2), (6,8), (7,5), (9,11).

c) xRy ↔ 2x + 3y = 10;

(5,0), (2,2), (3,1), (1,3).

4) Classifique cada das uma das rela¸c˜oes a seguir como um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos: a) R = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (4, 3)}. b) R = {(2, 7), (4, 5), (3, 6), (7, 10)}. c) R = {(2, 5), (6, 1), (8, 6), (9, 1)}. d) R = (2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1). e) A = conjunto de todos os homens em Belo Horizonte; xRy ↔ x ´e pai de y. f) B = conjunto dos alunos de uma turma; xRy ↔ x tem a mesma altura que y. 5) Desenhe o diagrama de Hasse para as seguintes ordens parciais: a) A = {a, b, c} R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}. b) A = {1, 2, 3, 4} R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3)} c) A = {∅, {a}, {a, b}, {c}, {a, c}, {b}} XRY ↔ X ⊆ Y. 6) Considerando os diagramas de Hasse abaixo, listar os pares ordenados que pertencem `a rela¸ca˜o de ordem correspondente:

a)

b)

c)

21

95

7) Determine o diagrama de Hasse e a matriz da rela¸ca˜o de ordem que tem o seguinte grafo:

b)

a)

8) (Adaptado de Gersting, J. 2009, p.232) Uma biblioteca mant´em um banco de dados sobre seus livros. As informa¸c˜oes sobre os livros incluem o t´ıtulo, o ISBN, a editora e o assunto. Considere a seguinte tabela: Livro T´ıtulo

ISBN

Editora

Assunto Natureza

Springtime Gardening

0-816-35421-9

Harding

Early Tang Paintings

0-364-87547-X

Bellman

Arte

Birds of Africa

0-115-01214-1

Loranie

Natureza

Springtime Gardening

0-56-000142-8

Swift-Key

Natureza

Baskets for Today

0-816-53705-4

Harding

Arte

Autumn Annuals

0-816-88506-0

Harding

Natureza

a) Classifique as rela¸co˜es a seguir quanto ao tipo: “T´ıtulo - ISBN” ; “T´ıtulo - Assunto”; “Editora - Assunto.” b) Construa o diagrama de flechas e a matriz da rela¸ca˜o “Editora - Assunto.” c) Supondo R a rela¸ca˜o “T´ıtulo - Editora” e S a rela¸ca˜o “Editora - Assunto”, determinar os pares da rela¸c˜ao composta R ◦ S. 9) Seja R uma rela¸c˜ao sobre um conjunto A. R ´e irreflexiva se, e somente se, ela n˜ao possui pares da forma (a, a), ou seja, dado a ∈ A, a/ Ra. R ´e chamada assim´etrica se, e somente se, dados a, b ∈ A, (a, b) ∈ R → (b, a) ∈ R. a) Seja A um conjunto de caixas e R, a rela¸ca˜o sobre A, tal que aRb se, e somente se, a caixa a cabe dentro da caixa b. Verifique se essa ´e uma rela¸ca˜o irreflexiva, assim´etrica ou transitiva.

22

b) Verifique se cada uma das rela¸co˜es abaixo, definidas no conjunto de habitantes da Terra (com os significados usuais da linguagem coloquial), ´e reflexiva, sim´etrica, transitiva, irreflexiva ou assim´etrica. i) “x ´e primo de y”. ii) “x ´e filho de y” 10) Construir o diagrama PERT para as atividades envolvidas no projeto “Oferecer um Jantar”, descritas na tabela abaixo: Tarefa

Pr´e-requisitos

1. Decidir oferecer o jantar

Nenhum

2. Comprar ingredientes

1

3. Fazer lista de convidados

1

4. Fazer o jantar

2

5. Expedir os convites

3

6. Colocar casa em ordem

4

7. Recepcionar convidados

5; 6

8. Servir o jantar

7

Leitura Complementar Abelhas resolvem dilema da computa¸ c˜ ao O Problema do Caixeiro Viajante, como visto anteriormente, consiste na procura de um circuito que possua a menor distˆancia, come¸cando numa cidade qualquer, entre v´arias, visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando `a cidade inicial. Apesar do enunciado do problema parecer relativamente simples, apresenta elevada complexidade computacional (quando todas as alternativas poss´ıveis s˜ao analisadas, a complexidade ´e fatorial!). Mesmo os grandes supercomputadores podem ficar ocupados por dias tentando achar a solu¸ca˜o para um n´ umero relativamente pequeno de cidades. Muitos problemas combinat´orios envolvem tantas alternativas de solu¸c˜ao quanto a do caixeiro viajante, de modo que ele ´e uma “unidade de medida” para se determinar a complexidade computacional dos problemas combinat´orios que ocorrem em engenharia e em trabalhos cient´ıficos. Acontece que uma equipe de estudiosos da Universidade de Londres, na Inglaterra, liderados pelo professor Lars Chittka, descobriu que as abelhas, que tˆem um c´erebro um pouco maior do que a cabe¸ca de um alfinete, encontram a solu¸ca˜o para este problema quando precisam achar a rota mais eficiente para visitar diversas flores. Segundo o professor, as abelhas tˆem que associar centenas de flores de uma maneira que minimize a distˆancia da viagem e, em seguida, encontrar 23

6. Colocar casa em ordem

4

7. Recepcionar convidados

5; 6

8. Servir o jantar

7

97

Leitura Complementar Abelhas resolvem dilema da computa¸ c˜ ao O Problema do Caixeiro Viajante, como visto anteriormente, consiste na procura de um circuito que possua a menor distˆancia, come¸cando numa cidade qualquer, entre v´arias, visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando `a cidade inicial. Apesar do enunciado do problema parecer relativamente simples, apresenta elevada complexidade computacional (quando todas as alternativas poss´ıveis s˜ao analisadas, a complexidade ´e fatorial!). Mesmo os grandes supercomputadores podem ficar ocupados por dias tentando achar a solu¸ca˜o para um n´ umero relativamente pequeno de cidades. Muitos problemas combinat´orios envolvem tantas alternativas de solu¸c˜ao quanto a do caixeiro viajante, de modo que ele ´e uma “unidade de medida” para se determinar a complexidade computacional dos problemas combinat´orios que ocorrem em engenharia e em trabalhos cient´ıficos. Acontece que uma equipe de estudiosos da Universidade de Londres, na Inglaterra, liderados pelo professor Lars Chittka, descobriu que as abelhas, que tˆem um c´erebro um pouco maior do que a cabe¸ca de um alfinete, encontram a solu¸ca˜o para este problema quando precisam achar a rota mais eficiente para visitar diversas flores. Segundo o professor, as abelhas tˆem que associar centenas de flores de uma maneira que minimize a distˆancia da viagem e, em seguida, encontrar de forma confi´avel o caminho de casa. Na pesquisa foram usadas flores artificiais controladas pelo computador, e observou-se que depois de explorar a localiza¸ca˜o das flores, elas conseguiam 23 determinar uma rota mais curta. A confirma¸ca˜o de que a rota estabelecida pelas abelhas era a mais curta foi feita por um computador que calculou o menor caminho poss´ıvel, e essa foi a parte mais dif´ıcil da pesquisa, devido ao tempo que o computador levou para fazer os c´alculos. O estudo proporcionar´a aplica¸c˜oes em situa¸c˜oes reais em que se busca um caminho m´ınimo e mais eficiente para resolver um problema do tipo “caixeiro viajante”. Fonte: Abelhas...(2010, online).

Material Complementar: Livro Fundamentos Matem´ aticos para a Ciˆ encia da Computa¸ c˜ ao Autora: Judith L. Gersting Editora: LTC Sinopse: A matem´atica discreta continua sendo um elemento importante no ensino da Ciˆencia da Computa¸ca˜o. O livro pretende oferecer aos estudantes os instrumentos para que desenvolvam um vocabul´ario preciso, recursos para nota¸ca˜o, abstra¸co˜es u ´teis e racioc´ınio formal, desde o in´ıcio de sua forma¸ca˜o. Explica¸c˜oes claras e exatas s˜ao mais importantes do que nunca, por isso prioriza-se o estilo simples.

a mais curta foi feita por um computador que calculou o menor caminho poss´ıvel, e essa foi a parte mais dif´ıcil da pesquisa, devido ao tempo que o computador levou para fazer os c´alculos. O estudo proporcionar´a aplica¸c˜oes em situa¸c˜oes reais em que se busca um caminho m´ınimo MATERIAL COMPLEMENTAR e mais eficiente para resolver um problema do tipo “caixeiro viajante”. Fonte: Abelhas...(2010, online).

Material Complementar: Livro Fundamentos Matem´ aticos para a Ciˆ encia da Computa¸ c˜ ao Autora: Judith L. Gersting Editora: LTC Sinopse: A matem´atica discreta continua sendo um elemento importante no ensino da Ciˆencia da Computa¸ca˜o. O livro pretende oferecer aos estudantes os instrumentos para que desenvolvam um vocabul´ario preciso, recursos para nota¸ca˜o, abstra¸co˜es u ´teis e racioc´ınio formal, desde o in´ıcio de sua forma¸ca˜o. Explica¸c˜oes claras e exatas s˜ao mais importantes do que nunca, por isso prioriza-se o estilo simples.

24

FUNÇÕES

UNIDADE

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

IV

Objetivos de Aprendizagem ■■ Determinar se uma relação binária é uma função. ■■ Verificar se uma função é sobrejetora ou injetora. ■■ Gerar funções compostas. ■■ Verificar se uma função tem inversa, e caso tenha, encontrá-la.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Funções ■■ Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função ■■ Igualdade de Funções ■■ Gráfico de Funções ■■ Função Piso e Função Teto ■■ Propriedades de Funções ■■ Função Composta ■■ Funções Inversas

101

INTRODUÇÃO Introdu¸ c˜ ao Um dos conceitos fundamentais em Matem´atica ´e o de fun¸ca˜o. Fun¸c˜ao ´e um tipo particular de rela¸ca˜o, que, por possuir uma propriedade especial, recebe denomina¸ca˜o diferente. Em matem´atica, sempre temos interesse em saber como certas vari´aveis se relacionam entre si, mas rela¸co˜es funcionais ocorrem em todos os ramos do conhecimento humano. Em nosso cotidiano, usamos constantemente o conceito de fun¸ca˜o, podendo citar como exemplos: - a dose de um rem´edio para uma crian¸ca ´e medida em fun¸c˜ao do seu peso; Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

- o desconto do imposto de renda ´e calculado em fun¸c˜ao da faixa salarial; - o pre¸co a pagar por combust´ıvel ´e or¸cado em fun¸c˜ao da quantidade abastecida; - o pre¸co de um oˆnibus fretado ´e estimado em fun¸ca˜o da distˆancia percorrida; - a velocidade de um foguete varia em fun¸ca˜o de sua carga; - o sal´ario de um vendedor comissionado ´e estabelecido em fun¸ca˜o do volume de vendas; etc. Al´em da importˆancia para a Matem´atica em geral, o conceito de fun¸c˜ao tamb´em ´e particularmente importante para computa¸ca˜o e inform´atica, mas nessas a´reas o interesse est´a nas fun¸co˜es discretas. A vari´avel discreta ´e a que assume valores em um subconjunto dos n´ umeros naturais (ou inteiros), e uma vari´avel cont´ınua ´e a que assume valores em um subconjunto dos n´ umeros reais. A sa´ıda gerada por um programa de computador, por exemplo, pode ser considerada como uma fun¸c˜ao dos valores obtidos na entrada. Nesta unidade faremos o estudo de fun¸c˜oes, determinando seu dom´ınio, contradom´ınio e imagem. A visualiza¸c˜ao geom´etrica de uma fun¸c˜ao ser´a feita por meio dos gr´aficos, que permitem observar melhor o comportamento da fun¸ca˜o. Como as fun¸c˜oes piso e teto s˜ao particularmente interessantes para a a´rea de computa¸c˜ao, ser˜ao analisadas separadamente. As propriedades das fun¸co˜es ser˜ao estabelecidas e abordaremos tamb´em os conceitos de fun¸ca˜o composta e fun¸ca˜o inversa, estudados anteriormente em rela¸co˜es. A composi¸c˜ao de fun¸co˜es tem por objetivo construir uma nova fun¸ca˜o a partir de fun¸c˜oes conhecidas.

Fun¸ c˜ oes Intuitivamente, podemos pensar em fun¸c˜ao como uma “lei” (ou regra de correspondˆencia), que associa a cada elemento de um dado conjunto, um u ´nico elemento em um outro conjunto. Essa “lei”, nada mais ´e do que uma rela¸ca˜o especial entre os dois conjuntos considerados. ©shutterstock

Introdução

2

IV

Formalmente, dados dois conjuntos A e B n˜ao vazios, uma fun¸c˜ao f de A em B ´e uma Formalmente, dados dois conjuntos A xe ∈BA, n˜aum o vazios, fun¸c˜aoy ∈ f B. de A em B ´e uma rela¸ca˜o que associa a cada elemento u ´ nicouma elemento rela¸ca˜o que associa a cada elemento x ∈ A, um u ´ nico elemento y ∈ B. - Fun¸co˜es tamb´em s˜ao chamadas de mapeamentos ou transforma¸co˜es. - Fun¸co˜es tamb´em s˜ao chamadas de mapeamentos ou transforma¸co˜es. As fun¸co˜es podem ser descritas por meio de tabelas, gr´aficos, leis de forma¸c˜ao, f´ormulas, As fun¸ co˜es podem descritas por meio de tabelas, gr´aficos, leis de forma¸c˜ao, f´ormulas, ou mesmo porserpalavras. ou mesmo por palavras. - Se f ´e uma fun¸ca˜o de A para B, escreve-se f : A → B e se lˆe: “f ´e uma fun¸ca˜o de A em - Se f ´eBuma fun¸ ca˜o de para B,Aescreve-se ou “f leva (ouAmapeia) em B.” f : A → B e se lˆe: “f ´e uma fun¸ca˜o de A em B ou “f leva (ou mapeia) A em B.” - Se a ∈ A, ent˜ao f (a) (lˆe-se f de a) denota o u ´nico elemento de B que f associa a a. f (a) - Se a ∈´e A, ent˜ao fimagem (a) (lˆe-sedef adepor a) f. denota o u ´nico elemento de B que f associa a a. f (a) chamado

x ∈ a.

Nota¸c˜ ao: Nota¸cEm ˜ ao:geral, usaremos letras min´ usculas, como f , g, h etc., para rela¸c˜oes que s˜ao fun¸co˜es. Em geral, usaremos letras min´ usculas, como f , g, h etc., para rela¸c˜oes que s˜ao fun¸co˜es.

# REFLITA # # REFLITA # Rela¸co˜es “v´arios-para-v´arios” e “um-para-v´arios” n˜ao s˜ao fun¸c˜oes. (Por quˆe?) Rela¸co˜es “v´arios-para-v´arios” e “um-para-v´arios” n˜ao s˜ao fun¸c˜oes. (Por quˆe?) Fonte: A autora. Fonte: A autora.

# FIM REFLITA # # FIM REFLITA #

3 3 FUNÇÕES

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

´e chamado imagem de a por f. De maneira geral, representamos como y = f (x) o u ´nico elemento y ∈ B associado a De maneira geral, representamos como y = f (x) o u ´ nico elemento y ∈ B associado a x ∈ a.

103

´ muito proveitoso considerar uma fun¸ca˜o como uma E m´aquina. Se x estiver no dom´ınio da fun¸c˜ao f , quando x entrar na m´aquina, ele ser´a aceito como input, e a m´aquina produzir´a um output f (x) de acordo com a lei que define a fun¸ca˜o. Assim, podemos pensar o dom´ınio como o con©shutterstock

junto de todos os inputs, enquanto a imagem seria como o conjunto de todos os outputs poss´ıveis.

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Dom´ınio, Contradom´ınio e Imagem de uma Fun¸c˜ ao Como fun¸c˜oes s˜ao um tipo particular de rela¸co˜es, ent˜ao todos os conceitos introduzidos para rela¸co˜es (como dom´ınio, composi¸c˜ao, inversa etc.) valem tamb´em para fun¸c˜oes. Seja f uma fun¸ca˜o definida de A para B. - Pela defini¸ca˜o de fun¸ca˜o, temos que o dom´ınio de f ´e sempre o conjunto de partida A (Dom(f ) = A). - O conjunto de chegada B ´e denominado contradom´ınio de f. - O conjunto imagem de f ´e o conjunto de todas as imagens dos elementos de A, ou seja, Im(f ) = {f (x) : x ∈ A}.

Exemplos: 1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d} conjuntos, e consideremos f a rela¸ca˜o definida por f = {(1, a), (2, a), (3, d), (4, c)}. Assim, os valores de f de x, para cada x ∈ A s˜ao: f (1) = a, f (2) = a, f (3) = d, f (4) = c. Como para cada x ∈ A existe um u ´nico y = f (x) ∈ B, ent˜ao f ´e uma fun¸ca˜o. 4 Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

IV

Dom(f ) = {1, 2, 3, 4} e Im(f ) = {a, c, d}. 2) Seja f : R → R definida por f = {(x, x2 ) | x ∈ R}. Para cada x ∈ R, temos que existe um u ´nico y = f (x) ∈ R tal que y = x2 . Logo, f ´e uma fun¸ca˜o com Dom(f ) = R e Im(f ) = R+ . 3) Sejam A, B = R. A rela¸ca˜o g : A → B definida por g = {(x2 , x) | x ∈ A} n˜ao ´e fun¸ca˜o,

pois para um mesmo valor de x ∈ A v˜ao corresponder dois valores de y ∈ B. Por exemplo, ao n´ umero 4 ∈ A est˜ao associados os n´ umeros −2 e 2 ∈ B. Podemos resumir dizendo que uma fun¸ca˜o consiste em trˆes coisas: um dom´ınio Dom uma imagem Im uma regra que para cada x ∈ Dom, especifica um u ´nico elemento f (x) em Im.

Exerc´ıcio: Quais das rela¸co˜es abaixo s˜ao fun¸co˜es do dom´ınio no contradom´ınio indicado? Justifique se alguma n˜ao for fun¸ca˜o. a) f : A → B, onde A ´e o conjunto de todas as pessoas residentes em sua cidade, B ´e o conjunto de todos os n´ umeros de CPF e f associa a cada pessoa seu CPF.

b) g : N → N, onde g ´e definida por g(x) = x − 5. c) h : S → T, onde S = T = {3, 4, 5} e h = {(3, 3), (4, 5), (5, 3), (4, 3)}. d) f : R → R definida por f (x) = 3 − 2x. e) g : S → T, onde S = {2010, 2011, 2012, 2013}, T = {96.804, 159.125, 177.794, 212.566}, e g ´e definida pelo gr´afico abaixo.

5 FUNÇÕES

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1. 2. 3.

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Fun¸c˜ ao de V´ arias Vari´ aveis A defini¸c˜ao de fun¸c˜ao tamb´em inclui fun¸co˜es de mais de uma vari´avel: podemos ter uma fun¸ca˜o f : A1 ×A2 ×A3 ×· · ·×An → B que associa a cada n-upla de elementos (a1 , a2 , a3 , · · · , an ), ai ∈ A, um u ´nico elemento b ∈ B. Exemplos:

1) Seja f : Z × Z → N, onde f ´e definida por f (x, y) = x2 + 2y 2 . Ent˜ao f (−2, 1) = (−2)2 + 2.(1)2 = 6. 2) g : N2 → N3 , onde g ´e dada por g(x, y) = (2y, x, 0). Ent˜ao g(2, 5) = (10, 2, 0) e g(0, 1) = Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(2, 0, 0).

Os elementos no dom´ınio e no contradom´ınio n˜ao precisam ser necessariamente n´ umeros. Por exemplo, se A ´e o conjunto de todas as cadeias de caracteres de comprimento finito e f a associa¸c˜ao que leva cadeia em seu n´ umero de caracteres, ent˜ao f ´e uma fun¸ca˜o com dom´ınio A e contradom´ınio N (considerando a “cadeia vazia” que tem zero caractere).

Igualdade de Fun¸c˜ oes Duas fun¸co˜es s˜ao ditas iguais se tˆem o mesmo dom´ınio, o mesmo contradom´ınio e a mesma associa¸ca˜o de valores do contradom´ınio a valores do dom´ınio. Exemplo: Sejam A = {2, 3, 6} e B = {4, 9, 36}. A fun¸c˜ao f : A → B definida por f = {(2, 4), (3, 9), (6, 36)} e g : A → B definida por g(x) = x2 s˜ao iguais.

Gr´ afico de Fun¸co ˜es Seja f uma fun¸c˜ao do conjunto A para um conjunto B. O gr´afico da fun¸ca˜o f ´e o conjunto de todos os pares ordenados {(x, y) | x ∈ A e y = f (x)}. Como o gr´afico de f ´e um subconjunto do produto cartesiano A × B, podemos represent´a-lo no diagrama coordenado de A × B.

6 Igualdade de Funções

IV

Um eletrocardiograma (ECG), por exemplo, ´e o gr´afico que representa uma fun¸c˜ao: mostra a atividade el´etrica em fun¸ca˜o do tempo.

Exemplos: 1) F : Z → Z, F (x) = x2 . Gr´afico de F :

Temos que f (−1) = −3, f (2) = 0, f (4) = 2 e f (5) = 3. O gr´afico de f ´e dado por:

7 FUNÇÕES

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2) f : A = {−1, 2, 4, 5} → B = Z definida por f (x) = x − 2.

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3) Se g : R → R definida por g(x) = x − 2, ent˜ao o gr´afico de g ser´a:

Podemos observar que apesar das express˜oes f e g serem iguais, como os dom´ınios s˜ao diferentes, o conjunto de pares ordenados ´e modificado. O gr´afico de f ´e formado por pontos discretos (separados), enquanto o gr´afico de g ´e cont´ınuo. Segundo Gersting (2013), a maior parte das fun¸c˜oes que interessa para a computa¸ca˜o s˜ao discretas. Em um computador digital, a informa¸c˜ao ´e processada em uma s´erie de passos distintos (discretos). Mesmo em situa¸c˜oes nas quais uma quantidade varia continuamente em rela¸ca˜o a uma outra, aproximamos pegando dados discretos em intervalos pequenos, como o gr´afico da fun¸ca˜o f (x) ´e aproximado pelo gr´afico de g(x) abaixo, por exemplo.

8 Igualdade de Funções

IV

Fun¸ c˜ ao Piso e Fun¸c˜ ao Teto ´ A Fun¸c˜ao Piso atribui a cada n´ umero real x o maior inteiro que ´e menor ou igual a x. E denotada por x. Exemplos: a) 2, 57 = 2, pois 2 ≤ 2, 57 < 3. b) 5, 99 = 5, pois 5 ≤ 5, 99 < 6. c) −217, 5 = −218, pois −218 ≤ −217, 5 < −217. d) 8 = 8, pois 8 ≤ 8.

Exemplos: a) 2, 57 = 3, pois 2 < 2, 57 ≤ 3. b) 5, 12 = 6, pois 5 < 5, 12 ≤ 6. c) 8 = 8, pois 8 ≤ 8. d) −156, 22 = −156, pois −157 < −156, 22 ≤ −156. Gr´ aficos: Fun¸c˜ao Piso

Fun¸c˜ao Teto

Consideremos o seguinte problema: 9 FUNÇÕES

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´ A Fun¸ca˜o Teto atribui a cada n´ umero real x o menor inteiro que ´e maior ou igual a x. E denotada por x.

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Dados armazenados em uma m´ıdia ou transmitidos em uma rede s˜ao normalmente representados por uma string de bytes. Cada byte possui 8 bits. Quantos bytes s˜ao necess´arios para codificar 329 bits de dados? Podemos resolver o problema usando a fun¸c˜ao teto:  329  = 41, 125 = 42. 8

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Propriedades de Fun¸c˜ oes

ID da Imagem: 189533801

Fun¸c˜ oes Injetoras Pela defini¸ca˜o de fun¸ca˜o, temos que existe uma u ´nica imagem para cada elemento do dom´ınio. No entanto, um determinado elemento da imagem pode ter mais de uma imagem inversa. Uma fun¸ca˜o f : A → B ´e dita injetora (ou injetiva ou um para um) se elementos diferentes de A tˆem imagens distintas em B . ∀x1 ∈ A, ∀x2 ∈ A, (x1 = x2 ) ⇒ f (x1 ) = f (x2 ). A ideia de fun¸ca˜o injetora ´e a mesma de um-para-um para rela¸co˜es bin´arias em geral, com a diferen¸ca que todos os elementos do conjunto de partida tˆem que aparecer como a primeira componente do par ordenado. Por exemplo, sejam A = {a, b, c, d}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f : A → B definida por f : {(a, 4), (b, 5), (c, 1), (d, 3)}. Temos que f ´e uma fun¸ca˜o injetora.

10 Propriedades de Funções

IV

Uma fun¸c˜ao f : A → B ´e dita sobrejetora (ou sobrejetiva) se sua imagem ´e igual ao seu

contradom´ınio, ou seja, se todo elemento b ∈ B possui um elemento correspondente a ∈ A. ∀y ∈ B, ∃ x ∈ A | f (x) = y.

Por exemplo, g : A = {a, b, c, d} → B = {0, 1, 2} definida por g : {(a, 2), (b, 1), (c, 0), (d, 1)} ´e sobrejetora (mas n˜ao ´e injetora... Por quˆe?).

Fun¸c˜ oes Bijetoras Uma fun¸ca˜o f : A → B ´e dita bijetora (ou bijetiva ou uma bije¸ c˜ ao) se for, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. 11 FUNÇÕES

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Fun¸c˜ oes Sobrejetoras

111

Exemplo:

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h : A = {a, b, c, d} → B = {0, 1, 2, 3} definida por h : {(a, 3), (b, 1), (c, 0), (d, 2)} ´e bijetora.

Abaixo, seguem ilustra¸c˜oes de rela¸co˜es que n˜ao s˜ao fun¸co˜es, bem como de fun¸co˜es e suas propriedades. Em cada caso, o dom´ınio ´e o conjunto da esquerda, e o contradom´ınio, o da direita:

12

Propriedades de Funções

IV

Fun¸ c˜ ao Composta Uma vez que fun¸co˜es s˜ao rela¸co˜es, podemos estender o conceito de composi¸c˜ao de rela¸co˜es para fun¸co˜es.

Ou seja, dado a ∈ A, achamos a imagem de a por f e ent˜ao achamos a imagem de f (a) por g.

Observa¸ co ˜es: • A fun¸c˜ao composta (g ◦ f ) de A em C s´o existir´a se a imagem de f for um subconjunto do dom´ınio de g. • A composi¸c˜ao de fun¸co˜es n˜ao ´e comutativa: (g ◦ f ) = (f ◦ g). Exemplos 1) Consideremos os conjuntos A = {−2, −1, 0}, B = {−3, −2, −1, 2} e C = {9, 4, 1}, e as fun¸co˜es f : A → B e g : B → C definidas por f (x) = x − 1 e g(x) = x2 . a) Fazer o diagrama de conjuntos e setas para expressar f, g e (g ◦ f ).

13 FUNÇÕES

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Consideremos as fun¸c˜oes f : A → B e g : B → C. Ent˜ao, podemos definir uma nova fun¸c˜ao de A para C, denominada composi¸c˜ao das fun¸co˜es f e g e denotada por g ◦ f, da seguinte maneira: (g ◦ f )(a) = g(f (a)).

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b) Determinar (g ◦ f )(−2) e (g ◦ f )(0). • (g ◦ f )(−2) = g(f (−2)) = g(−3) = 9. • (g ◦ f )(0) = g(f (0)) = g(−1) = 1. c) Determinar uma express˜ao para a fun¸ca˜o composta h(x) = (g ◦ f )(x). (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x − 1) = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1. Podemos perceber pelo diagrama feito em (a) que a ordem ´e importante na composi¸c˜ao de fun¸co˜es. A composta de f e g (g ◦ f ) est´a definida, pois Dom(f ) ⊂ Im(g), mas n˜ao ´e poss´ıvel fazer a composi¸c˜ao de g com f (f ◦ g). 2) Consideremos f : N → N definida por f (x) = x + 2 e g : N → N dada por g(x) = 1 − 3x. Calcular as seguintes express˜oes: a) (g ◦ f )(4) (g ◦ f )(4) = g(f (4)) = g(4 + 2) = g(6) = 1 − 3.(6) = 1 − 18 = −17. b) (f ◦ g)(4) (f ◦ g)(4) = f (g(4)) = f (1 − 3.4) = f (1 − 12) = f (−11) = −11 + 2 = −9. c) (f ◦ f )(7) (f ◦ f )(7) = f (f (7)) = f (7 + 2) = f (9) = 9 + 2 = 11. d) (g ◦ f )(x) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x + 2) = 1 − 3.(x + 2) = 1 − 3x − 6 = −3x − 5. e) (f ◦ g)(x) (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (1 − 3x) = (1 − 3x) + 2 = 3 − 3x.

14 Função Composta

IV

f) (g ◦ g)(x) (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(1 − 3x) = 1 − 3.(1 − 3x) = 1 − 3 + 9x = −2 + 9x. g) (f ◦ f )(x) (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f (x + 2) = (x + 2) + 2 = x + 4. Para que fazemos a composi¸c˜ao de fun¸co˜es? Uma fun¸ca˜o composta substitui as aplica¸co˜es sucessivas de duas aplica¸co˜es. Assim, a composi¸c˜ao de fun¸co˜es representa uma simplifica¸c˜ao no trato de fun¸c˜oes. A composi¸ca˜o de fun¸c˜oes preserva as propriedades das fun¸co˜es serem injetoras ou sobrejetoras, podendo-se afirmar ent˜ao que a composi¸c˜ao de duas bije¸c˜oes ´e uma bije¸ca˜o.

Se uma vari´avel dependente y est´a relacionada com a vari´avel independente x por meio da fun¸c˜ao f , isto ´e, se y = f (x), ent˜ao sabemos exatamente como y varia quando x varia. Por exemplo, a f´ormula para converter a temperatura Celsius x em temperatura Kelvin ´e k(x) = x + 273, 16. Assim, dada uma temperatura em grau Celsius, conseguimos seu valor correspondente em grau Kelvin. Mas poder´ıamos estar interessados no processo inverso: dada uma temperatura em grau Kelvin, obter seu valor em grau Celsius. Esse processo de saber como varia a mesma vari´avel x quando fazemos variar y, significa encontrar uma outra fun¸ca˜o g tal que y passe a ser a vari´avel independente passando x a ser a vari´avel dependente, isto ´e, encontrar uma outra fun¸c˜ao g tal que x = g(y). Essa fun¸ca˜o g pode existir ou n˜ao. Se existir, chama-se a fun¸ca˜o inversa de f e designa-se por f −1 . Mas quando existir´a a fun¸c˜ao g? Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c} e f : A → B dada por f = {(1, a), (2, b), (3, b)}. Podemos observar que a rela¸c˜ao inversa g = {(a, 1), (b, 2), (b, 3)} n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, pois o elemento b ∈ B est´a associado a dois valores do conjunto A : 2 e 3.

15 FUNÇÕES

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Fun¸ c˜ oes Inversas

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Assim, para a inversa g estar bem definida, ´e preciso que cada y ∈ B corresponda a somente

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um elemento x ∈ A, ou seja:

1) Cada y ∈ B tenha um elemento x ∈ A associado (por meio de g). 2) Para cada y ∈ B exista um u ´nico correspondente x ∈ A. Reescrevendo as duas condi¸c˜oes em termos da fun¸ca˜o f : 1) Cada y ∈ B seja transformado (por meio de f) de algum x ∈ A; 2) Aos elementos de A correspondem (por meio de f) diferentes elementos de B. Ou seja, 1) f ´e sobrejetiva; 2) f ´e injetiva. Concluindo: Para que a fun¸c˜ ao g = f −1 exista, ´e preciso que f seja sobrejetiva e injetiva, isto ´e, bijetiva. Observa¸ co ˜es: • Se a inversa existir, ser´a u ´nica. • Se f ´e invert´ıvel, f −1 tamb´em ser´a invert´ıvel (tamb´em ´e bijetiva), e a inversa de f −1 ser´a exatamente a fun¸ca˜o f .

T´ ecnica para a obten¸ c˜ ao da inversa de uma fun¸ c˜ ao Se conhecemos a lei que define uma fun¸c˜ao bijetora real de vari´avel real f : A → B, tal que y = f (x), podemos obter a lei que define sua inversa, f −1 : B → A. Partindo da lei que define f , encontramos a lei que define f −1 da seguinte forma: I) Escrevemos a equa¸ca˜o y = f (x) que define f. 16 Técnicas para Obtenção da Inversa de uma Função

IV

II) Em y = f (x) expressamos x em fun¸ca˜o de y, obtendo x = f −1 (y). II) Em y = f (x) expressamos x em fun¸ca˜o de y, obtendo x = f −1 (y). , trocar x por y e y por x III) Para obter x como vari´avel independente na equa¸c˜ao para f −1 III) Para obter x como vari´avel independente na equa¸c˜ao para f −1 , trocar x por y e y por x na equa¸ca˜o obtida em (II). na equa¸ca˜o obtida em (II). Exemplos: Exemplos: Determinar a inversa das seguintes fun¸co˜es bijetoras de dom´ınio e contradom´ınio indicado: Determinar a inversa das seguintes fun¸co˜es bijetoras de dom´ınio e contradom´ınio indicado:

b) f : R → R definida por f (x) = 5 − 3x. b) f : R → R definida por f (x) = 5 − 3x. y = 5 − 3x y = 5 − 3x

⇒ −3x = y − 5 ⇒ −3x = y − 5

5−y ⇒ 3x = 5 − y ⇒ x = 5 − y . ⇒ 3x = 5 − y ⇒ x = 3 . 3

5−x Logo, f −1 (x) = 5 − x . Logo, f −1 (x) = 3 . 3

# SAIBA MAIS # # SAIBA MAIS # Modelagem Matem´ atica Modelagem Matem´ atica As fun¸co˜es desempenham um papel importante na ciˆencia. Frequentemente, observa-se que As fun¸co˜es desempenham um papel importante na ciˆencia. Frequentemente, observa-se que uma grandeza ´e fun¸ca˜o de outra e ent˜ao tenta-se encontrar uma f´ormula razo´avel para expressar uma grandeza ´e fun¸ca˜o de outra e ent˜ao tenta-se encontrar uma f´ormula razo´avel para expressar essa fun¸c˜ao. A busca de uma fun¸ca˜o que represente uma dada situa¸c˜ao ´e chamada de Modeessa fun¸c˜ao. A busca de uma fun¸ca˜o que represente uma dada situa¸c˜ao ´e chamada de Modelagem Matem´atica, e a fun¸ca˜o escolhida ´e o modelo matem´ atico. Um modelo pode esclarecer lagem Matem´atica, e a fun¸ca˜o escolhida ´e o modelo matem´ atico. Um modelo pode esclarecer a rela¸ca˜o entre as vari´aveis e nos ajudar a fazer previs˜oes, pois o modelo permite que vejamos a rela¸ca˜o entre as vari´aveis e nos ajudar a fazer previs˜oes, pois o modelo permite que vejamos pontos na fun¸ca˜o (na tabela ou no gr´afico) que podemos n˜ao ter observado no fenˆomeno real, pontos na fun¸ca˜o (na tabela ou no gr´afico) que podemos n˜ao ter observado no fenˆomeno real, assim como permite fazer mudan¸cas matematicamente que n˜ao faziam parte da experiˆencia assim como permite fazer mudan¸cas matematicamente que n˜ao faziam parte da experiˆencia original. original. Fonte: A autora. Fonte: A autora.

#FIM SAIBA MAIS# #FIM SAIBA MAIS# 17 17 FUNÇÕES

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a) F : N → N definida por f (x) = 2x. a) F : N → N definida por f (x) = 2x. Temos que cada n´ umero natural ´e associado por f ao seu dobro. Assim, f (0) = 0; f (1) = Temos que cada n´ umero natural ´e associado por f ao seu dobro. Assim, f (0) = 0; f (1) = 2; f (2) = 4; f (3) = 6; ..., e o conjunto imagem de f s˜ao todos os m´ ultiplos de 2. 2; f (2) = 4; f (3) = 6; ..., e o conjunto imagem de f s˜ao todos os m´ ultiplos de 2. Para determinar a inversa de f, procedemos da seguinte maneira: Para determinar a inversa de f, procedemos da seguinte maneira: y y y = 2x ⇒ y = x ⇒ x = y . y = 2x ⇒ 2 = x ⇒ x = 2 . 2 2 x x Trocando x por y na u ´ltima equa¸ca˜o, obtemos y = x . Logo, f −1 (x) = x , ou seja, a Trocando x por y na u ´ltima equa¸ca˜o, obtemos y = 2 . Logo, f −1 (x) = 2 , ou seja, a 2 2 imagem de f a` metade fun¸ca˜o inversa de f associa cada elemento do conjunto do seu fun¸ca˜o inversa de f associa cada elemento do conjunto imagem de f a` metade do seu valor. valor.

117

Considera¸ co ˜es Finais

Fun¸c˜ao ´e uma palavra comum mesmo em contextos n˜ao t´ecnicos. Em meios de comunica¸c˜ao ou mesmo em conversas cotidianas, ´e comum ouvirmos ou usarmos a express˜ao “est´a em fun¸ca˜o de” para expressar uma rela¸ca˜o entre objetos. Quando se afirma, por exemplo, que a demanda de um produto depende de seu pre¸co, isso significa que a quantidade vendida est´a em fun¸ca˜o

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do pre¸co. ´ claro que fun¸c˜oes matem´aticas s˜ao usadas em a´lgebra e c´alculo, geralmente expressas por E equa¸co˜es do tipo y = f (x) que estabelecem uma rela¸c˜ao funcional entre os valores de x e os valores correspondentes y que se obtˆem quando x ´e substitu´ıdo na express˜ao. Fun¸c˜oes, assim como rela¸co˜es, descrevem diversas situa¸c˜oes reais. Nesta unidade, vimos que fun¸ca˜o ´e um tipo particular de rela¸c˜ao bin´aria e que nem toda rela¸c˜ao entre conjuntos ´e uma fun¸ca˜o. Retomamos os conceitos de dom´ınio, contradom´ınio e imagem para fun¸co˜es e definimos a igualdade entre fun¸c˜oes. Uma fun¸ca˜o pode ser expressa por meio de f´ormula; texto; tabela ou gr´afico. Como fun¸c˜ao ´e um tipo de rela¸ca˜o bin´aria, ent˜ao seu gr´afico pode ser representado como um subconjunto do plano cartesiano A × B, sendo A o dom´ınio e B o contradom´ınio da fun¸ca˜o. Fun¸c˜oes Piso e Teto s˜ao particularmente interessantes pois transformam qualquer n´ umero real em n´ umero inteiro, que muitas vezes ´e a solu¸ca˜o esperada para problemas pr´aticos. Fun¸c˜oes tamb´em tˆem propriedades especiais, podendo ser classificadas como injetoras, sobrejetoras ou bijetoras. Dependendo das propriedades da fun¸c˜oes, podemos realizar a opera¸c˜ao de invers˜ao. Estudamos que inverter uma rela¸ca˜o entre conjuntos nem sempre acarreta a obten¸ca˜o de uma fun¸c˜ao, e a condi¸ca˜o necess´aria e suficiente para se definir a fun¸c˜ao inversa ´e que a fun¸c˜ao deve ser bijetora. Outra opera¸ca˜o estudada foi a composi¸ca˜o, que substitui as aplica¸co˜es sucessivas de duas fun¸co˜es, representando uma simplifica¸c˜ao de opera¸co˜es. A composi¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao que pode ser realizada com as fun¸c˜oes desde que o dom´ınio de uma seja subconjunto da imagem da outra, destacando-se que esta opera¸ca˜o n˜ao ´e comutativa. O conceito de fun¸ca˜o, junto com sua representa¸c˜ao gr´afica, ´e certamente um dos mais importantes em Matem´atica e ´e ferramenta poderosa na modelagem de problemas. Na busca de entendimento dos mais variados fenˆomemos, e em diversas ´areas de conhecimento, esse conceito se faz presente.

19 Considerações Finais

Atividades de Autoestudo

1) O diagrama a seguir representa uma fun¸ca˜o. a) Determinar seu dom´ınio, contradom´ınio e imagem. b) Qual ´e a imagem de 8? E de 4? c) Quais s˜ao as imagens inversas de 7? d) Essa fun¸ca˜o ´e injetora e/ou sobrejetora? Justifique.

2) Dados os conjuntos A = {3; 8; 15; 24} e B = {2; 3; 4; 5; 9}, pede-se: a) Determine a rela¸ca˜o R1 : A → B, tal que R1 = {(a, b) | b =



a + 1}.

b) Determine a rela¸ca˜o R2 : B → A, tal que R2 = {(b, a) | a = b − 1}. c) A rela¸ca˜o R1 ´e uma fun¸ca˜o? Explique. Caso seja, determine sua imagem. d) A rela¸ca˜o R2 ´e uma fun¸ca˜o? Explique. Caso seja, determine sua imagem. 3) Conside f : N → N dada por f (x) = 5 − 2x e g : R → R definida por g(x) = 3x. Calcular as seguintes express˜oes: a) (f ◦ g)(3)

e) (f ◦ g)(x)

b) (g ◦ f )(0)

f) (g ◦ f )(x)

c) (f ◦ f )(2)

g) (f ◦ f )(x)

d) (g ◦ g)(2)

h) (g ◦ g)(x)

4) Para cada uma das bije¸c˜oes f : R → R abaixo, encontre f −1 : a) f (x) = 5x 20

119

b) f (x) = x3 c) f (x) =

2x + 7 3

5) Sejam f : R → Z dada por f (x) = x, g : R → Z dada por g(x) = x e h : Z → N dada por h(x) = 2x2 . Determine o valor de: a) (h ◦ f )(−6, 4) = b) (f ◦ h)(−6, 4) = c) (f ◦ g)(3, 75) =

Material Complementar: na Web O v´ıdeo-document´ario A Hist´ oria do Conceito da Fun¸c˜ ao, partes 1 a 4, trata sobre a constru¸ca˜o do conceito matem´atico que hoje se denomina fun¸c˜ao. Baseado nas pesquisas do Prof. Paulo Castor Maciel, a primeira parte trata da rela¸ca˜o funcional, da contagem e da consequente necessidade de relacionar dois n´ umeros; a parte dois trata das origens da tentativa de conceituar fun¸ca˜o por volta do per´ıodo da Revolu¸ca˜o Cient´ıfica; na parte trˆes est˜ao as contribui¸co˜es de matem´aticos renomados, quando o conceito come¸ca a ganhar forma e fun¸co˜es passam a ser escritas em f´ormulas, e na u ´ltima parte do document´ario, estudam-se as partes mais contemporˆaneas do que se conhece, hoje, por fun¸ca˜o. Os v´ıdeos est˜ao dispon´ıveis nos seguintes endere¸cos: . . . . Outra sugest˜ao ´e o v´ıdeo “Criptografia - Hist´oria”, dispon´ıvel em: , que trata sobre criptografia e como as mensagens codificadas foram importantes desde a Roma Antiga at´e os dias de hoje, dando exemplos de c´odigos e seus usos no decorrer da hist´oria.

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faz com que a informa¸ca˜o e o controle sobre ela sejam estrat´egicos para governos e empresas. Pensando na necessidade de se criar ferramentas capazes de proteger a informa¸ca˜o e de prover seguran¸ca aos dados armazenados e transmitidos pelas organiza¸co˜es atrav´ez do mundo, veio a motiva¸ca˜o para se estudar Criptografia. Criptografia ´e t´ecnica de escrever mensagens em cifras ou c´odigos com o intuito de manter sigilo sobre as informa¸ co˜es. Leitura Complementar Num esquema de criptografia, um transmissor deseja que essa mensagem chegue com seguran¸ca a seu receptor. O transmissor escreve a mensagem em texto claro e aplica um m´etodo de codifica¸ca˜Criptografia o para produzir uma mensagem cifrada. A mensagem codificada ´e ent˜ao transmitida ao receptor que aplica um m´etodo de decodifica¸ca˜o para converter o texto cifrado novamente em texto claro. O ato decodificar ent˜ao a que opera¸ a˜o inversa dosentido ato de codificar: Desde os de prim´ ordios dos´e tempos ochomem tem a necessidade de guardar segredos, mas t˜ao forte quanto a necessidade nata da esp´ecie humana de guardar segredo sobre decodifica¸ca˜o(codifica¸ca˜o (mensagem original))= mensagem original. determinados assuntos ´e a vontade dos mesmos humanos de desvendar esses segredos. Com o avan¸co dos poderes das Redes tende “ficar menor”, e este avan¸co O desenvolvimento da matem´ atica, de emComputadores, especial na a´reao mundo de Teoria dosaN´ umeros, tem pro´ fazum com quecoa significativo informa¸ca˜o edao controle sobreque elatamb´ sejam egicos governos porcionado avan¸ criptografia, emestrat´ faz uso da para Algebra Lineare empresas. e Pensandoem nasua necessidade de seOcriar ferramentas capazes de proteger a“embarinforma¸ca˜o e de Matem´atica Discreta parte te´orica. mecanismo criptogr´ afico, basicamente, seguran¸ aos dados em armazenados e transmitidos pelas organiza¸ co˜es atrav´ ez do mundo, alha” um prover texto claro e ocatransforma um texto cifrado, de acordo com um algoritmo. Esse veio asermotiva¸ ca˜o num para se estudar Criptografia. sistema pode descrito modelo matem´ atico, no qual, o que difere s˜ao as fun¸co˜es de ´e t´ecnica de escrever mensagens em cifras ou c´odigos com o intuito de manter codifica¸ca˜o e Criptografia decodifica¸ca˜o. sigilo sobre as informa¸ es. Num exemplo de esquema deco˜criptografia, se consideramos A o dom´ınio das mensagens n˜ao esquema criptografia, um transmissor que essa mensagem chegue cifradas e B Num o dom´ ınio das de mensagens criptografadas, ent˜adeseja o a criptografia ´e a transforma¸ c˜aocom seguran¸ ca para a seuBreceptor. O transmissor emcaractere texto claro aplicade umtalm´etodo de do texto de A aplicando uma fun¸ca˜o escreve bijetoraa fmensagem sobre cada doe texto ca˜ocalcular para produzir uma mensagem cifrada.traduz A mensagem codificada ´e ent˜ao transmitida modo quecodifica¸ se possa sua inversa. A fun¸c˜ao inversa a mensagem criptografada. ao receptor que aplica um m´etodo Mais informa¸ co˜es podem ser obtidas em: de decodifica¸ca˜o para converter o texto cifrado novamente em texto claro. O ato de decodificar ´e ent˜ao a opera¸ca˜o inversa do ato de codificar: . . decodifica¸ca˜o(codifica¸ca˜o (mensagem original))= mensagem original. O desenvolvimento da matem´atica, em especial na a´rea de Teoria dos N´ umeros, tem pro´ porcionado um avan¸co significativo da criptografia, que tamb´em faz uso da Algebra Linear e Matem´atica Discreta em sua parte te´orica. O mecanismo criptogr´afico, basicamente, “embaralha” um texto claro e o transforma em um texto cifrado, de acordo com um algoritmo. Esse sistema pode ser descrito num modelo matem´atico, no qual, o que difere s˜ao as fun¸co˜es de codifica¸ca˜o e decodifica¸ca˜o. 18 Num exemplo de esquema de criptografia, se consideramos A o dom´ınio das mensagens n˜ao cifradas e B o dom´ınio das mensagens criptografadas, ent˜ao a criptografia ´e a transforma¸c˜ao do texto de A para B aplicando uma fun¸ca˜o bijetora f sobre cada caractere do texto de tal modo que se possa calcular sua inversa. A fun¸c˜ao inversa traduz a mensagem criptografada. Mais informa¸co˜es podem ser obtidas em: . .

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a) (h ◦ f )(−6, 4) = b) (f ◦ h)(−6, 4) = c) (f ◦ g)(3, 75) = MATERIAL COMPLEMENTAR

Material Complementar: na Web O v´ıdeo-document´ario A Hist´ oria do Conceito da Fun¸c˜ ao, partes 1 a 4, trata sobre a constru¸ca˜o do conceito matem´atico que hoje se denomina fun¸c˜ao. Baseado nas pesquisas do Prof. Paulo Castor Maciel, a primeira parte trata da rela¸ca˜o funcional, da contagem e da consequente necessidade de relacionar dois n´ umeros; a parte dois trata das origens da tentativa de conceituar fun¸ca˜o por volta do per´ıodo da Revolu¸ca˜o Cient´ıfica; na parte trˆes est˜ao as contribui¸co˜es de matem´aticos renomados, quando o conceito come¸ca a ganhar forma e fun¸co˜es passam a ser escritas em f´ormulas, e na u ´ltima parte do document´ario, estudam-se as partes mais contemporˆaneas do que se conhece, hoje, por fun¸ca˜o. Os v´ıdeos est˜ao dispon´ıveis nos seguintes endere¸cos: . . . . Outra sugest˜ao ´e o v´ıdeo “Criptografia - Hist´oria”, dispon´ıvel em: , que trata sobre criptografia e como as mensagens codificadas foram importantes desde a Roma Antiga at´e os dias de hoje, dando exemplos de c´odigos e seus usos no decorrer da hist´oria.

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Material Complementar

MATERIAL COMPLEMENTAR

Material Complementar: Filme O Jogo da Imita¸ c˜ ao Elenco:

Benedict Cumberbatch (Alan Turing) Keira Knightley (Joan Clarke) Matthew Goode (Hugh Alexander) Mark Strong (Stewart Menzies) Charles Dance (Comandante Denniston)

Dire¸c˜ ao: Produ¸c˜ ao:

Morten Tyldum Nora Grossman, Peter Heslop, Graham Moore, Ido Ostrowsky e Teddy Schwarzman

Dura¸c˜ ao: 113 min. Ano: 2015 (lan¸camento) Gˆ enero: Drama, Suspense, Biografia Pa´ıs: EUA, Reino Unido Classifica¸ c˜ ao: 12 anos Sinopse: O Jogo da Imita¸ca˜o (The Imitation Game) ´e baseado na hist´oria real do lend´ario criptoanalista inglˆes Alan Turing, considerado o pai da computa¸ca˜o moderna, e narra a tensa corrida contra o tempo de Turing e sua brilhante equipe no projeto Ultra para decifrar os c´odigos de guerra nazistas e contribuir para o final do conflito. Ele foi decisivo para a derrota do nazismo e precursor dos computadores e da inteligˆencia artificial.

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APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

UNIDADE

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

V

Objetivos de Aprendizagem ■■ Reconhecer e compreender aplicações de álgebra de conjuntos nas linguagens de programação e teoria da computação. ■■ Entender como a linguagem de programação Prolog é constituída em função da lógica de predicados. ■■ Desenhar um diagrama PERT de uma tabela de tarefas. ■■ Encontrar o tempo mínimo para completar uma sequência ordenada de tarefas e determinar um caminho crítico, usando diagrama PERT ■■ Reconhecer um autômato finito como uma função. ■■ Compreender o modelo entidade-relação e o modelo relacional para um projeto. ■■ Efetuar operações de restrição, projeção e união em um banco de dados relacional.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação ■■ Programação Lógica ■■ Caminho crítico no Diagrama PERT ■■ Autômatos Finitos e Funções ■■ Relações e Banco de Dados

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INTRODUÇÃO Introdu¸ c˜ ao Nas unidades anteriores, fizemos um estudo de l´ogica; teoria dos conjuntos; rela¸c˜oes e fun¸c˜oes. A matem´atica, para a ´area de computa¸c˜ao, ´e uma ferramenta a ser usada na defini¸c˜ao formal de conceitos computacionais. A teoria ´e importante para a pr´atica, pois provˆe ferramentas conceituais que ser˜ao usadas no desenvolvimento de projetos ligados a` ´area de atua¸c˜ao. Nesta unidade, ser˜ao apresentadas algumas aplica¸co˜es da Matem´atica estudada anterior-

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mente na ´area de Computa¸ca˜o. Veremos, por meio de conceitos e exemplos, a rela¸ca˜o da teoria dos conjuntos com as linguagens de programa¸ca˜o. Como uma linguagem de programa¸c˜ao ´e definida por todos os seus programas poss´ıveis, ent˜ao pode ser considerada um conjunto infinito. A aplica¸ca˜o das regras de inferˆencia ser˜ao mostradas no programa Prolog, que s˜ao uma linguagem de programa¸c˜ao que reduzem a busca de respostas corretas a` pesquisa de refuta¸co˜es (dedu¸co˜es por contradi¸c˜ao) a partir das senten¸cas do programa e da nega¸ca˜o da consulta. Retomaremos o assunto sobre Diagrama PERT, que ´e a representa¸c˜ao de uma rela¸c˜ao que envolve ordena¸ca˜o de tarefas, e definiremos caminho cr´ıtico em um diagrama, na busca do menor tempo para realiza¸c˜ao de uma sequˆencia de atividades ordenadas. Tamb´em destacaremos a aplica¸ca˜o de rela¸co˜es em banco de dados relacional, que s˜ao um conjunto de dados integrados cujo objetivo ´e atender a uma comunidade de usu´arios, e a aplica¸ca˜o de fun¸co˜es para o conceito de autˆomato finito, que s˜ao um modelo computacional de defini¸c˜ao de linguagens que s˜ao definidas por mecanismos de reconhecimento. O objetivo principal nesta unidade ´e apresentar aplica¸c˜oes da teoria estudada anteriormente em t´opicos espec´ıficos do curso, deixando claro que ser´a desenvolvida, apenas, uma breve introdu¸ca˜o dos conceitos, visto que o estudo detalhado de muitos deles ´e realizado em algumas disciplinas espec´ıficas.

Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação ´ Algebra dos Conjuntos nas Linguagem de Programa¸c˜ ao

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Introdução

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V

Existem diversas aplica¸co˜es da teoria dos conjuntos dentro da computa¸c˜ao. Veremos sua aplica¸ca˜o em linguagem de programa¸ca˜o. • Linguagem de Programa¸ c˜ ao A no¸ca˜o de conjunto permite definir linguagem, um dos conceitos mais fundamentais em computa¸ca˜o. Mas para definir linguagem ´e necess´ario, antes, introduzir os conceitos de alfabeto e palavras ou cadeia de caracteres. Defini¸co ˜es:

2. Os s´ımbolos (tokens), tamb´em denominados ´atomos, s˜ao representa¸c˜oes gr´aficas indivis´ıveis. Cada s´ımbolo ´e considerado como uma unidade atˆomica, n˜ao importando a sua particular representa¸c˜ao visual. S˜ao exemplos de s´ımbolos: b, abc, begin, if , 7045, 2.017e4. 3. Palavra (ou cadeia de caracteres, ou senten¸ca): uma palavra ou cadeia de caracteres sobre um alfabeto ´e uma sequˆencia finita de s´ımbolos do alfabeto justapostos. As palavras sobre um alfabeto ser˜ao denotadas por letras gregas min´ usculas: α; β; γ; ...

Se Σ representa um alfabeto, ent˜ao, Σ∗ denota o conjunto de todas as palavras poss´ıveis sobre Σ. Exemplo: Como exemplo de alfabeto, consideremos Σ o conjunto dos d´ıgitos hexadecimais, em que cada elemento corresponde a um s´ımbolo: Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f }. 12ab, 88541aaf , e4, cdf ee03, 8, s˜ao exemplos de cadeias (ou palavras) que podem ser constru´ıdas com os s´ımbolos de Σ. O comprimento de uma cadeia ´e um n´ umero natural que designa a quantidade de s´ımbolos que a comp˜oem. O comprimento de uma cadeia α ´e denotado por |α|. Exemplo: Considerando as cadeias α = ab56d; 5; |β| = 1 e |γ| = 2.

β = 2;

3 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

e γ = 4e sobre Σ, ent˜ao, temos que |α| =

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1. Alfabeto: ´e um conjunto finito e n˜ao vazio de s´ımbolos (ou caracteres), que s˜ao denominados elementos do alfabeto.

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D´a-se o nome de cadeia elementar (ou unit´aria) a qualquer cadeia formada por um u ´nico s´ımbolo. Por exemplo, α = d. Temos que |α| = 1. Cadeia Vazia: Uuma cadeia sem s´ımbolos tamb´em ´e uma cadeia v´alida. Denota-se por ε a cadeia formada por uma quantidade nula de s´ımbolos, isto ´e, a cadeia que n˜ao cont´em s´ımbolos. Formalmente, |ε| = 0.

ε (´episilon) denota a cadeia vazia; palavra vazia ou senten¸ca vazia. Se Σ ´e um alfabeto, j´a definimos Σ∗ como o conjunto de todas as palavras poss´ıveis sobre Σ. Analogamente, Σ+ representa o conjunto de todas as palavras sobre Σ excetuando-se a palavra vazia, ou seja, Σ+ = Σ∗ − {ε}.

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Exemplos: a) ε ´e uma palavra sobre o alfabeto Σ = {ab, ec, idf, ogh}. b) Se Σ = {0, 1}, ent˜ao, Σ∗ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 011, 111, ...}. Linguagens Uma linguagem formal, ou simplesmente linguagem, ´e um conjunto, finito ou infinito, de cadeias de comprimento finito, formadas pela concatena¸ca˜o de elementos de um alfabeto finito e n˜ao-vazio. Ou melhor: uma linguagem ´e um conjunto de palavras sobre um alfabeto. Observemos que: • ε denota a cadeia vazia, ou seja, uma cadeia de comprimento zero. • ∅ denota uma linguagem vazia, ou seja, uma linguagem que n˜ao cont´em cadeia alguma; |∅| = 0 • {ε} denota uma linguagem que cont´em uma u ´nica cadeia: a cadeia vazia; |{ε}| = 1. Observemos tamb´em que existe uma diferen¸ca conceitual entre alfabetos, linguagens e cadeias. Alfabetos s˜ao conjuntos, finitos e n˜ao-vazios, de s´ımbolos, e, por meio de sua concatena¸ca˜o, s˜ao obtidas as cadeias. Linguagens, por sua vez, s˜ao conjuntos, finitos (eventualmente vazios) ou infinitos, de cadeias. Uma cadeia ´e tamb´em denominada senten¸ca de uma linguagem, ou simplesmente senten¸ca, no caso de ela pertencer `a linguagem em quest˜ao. Linguagens s˜ao, portanto, cole¸co˜es de senten¸cas sobre um dado alfabeto. A figura abaixo ilustra a rela¸ca˜o entre os conceitos de s´ımbolo, alfabeto, cadeia e linguagem:

4 Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação

V

Fonte: RAMOS (2008, online).

s˜ao tamb´em denominadas senten¸cas. Exemplo: Consideremos o alfabeto {c, a} e uma linguagem sobre este alfabeto: - S´ımbolos: c, a. - Alfabeto: {c, a}. - Cadeias: ... ccaaa; caa; aaaccc; a; cc; aaaa; c; acacaca; cccaaa; cacaacac; aa; ... - Linguagem: {caa; aaaa; cccaaa; ccaaa}. Notemos que essa linguagem ´e, naturalmente, apenas uma das in´ umeras que podem ser criadas a partir desse alfabeto. Opera¸c˜ ao de concatena¸ c˜ ao: A concatena¸c˜ao ´e uma opera¸ca˜o bin´aria sobre uma linguagem. Ela associa a cada par de palavras, sejam elas elementares ou n˜ao, uma outra palavra formada pela justaposi¸ca˜o da primeira com a segunda. Exemplos: 1) Consideremos o alfabeto Σ = {a, b, c} e as palavras α = aaba, β = bc e δ = c. Ent˜ao: a) (α.β) = aababc b) β.α = bcaaba c) α.(β.δ) = aababcc = (α.β).δ d) α.ε = ε.α = aaba 5 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Podemos observar, ent˜ao, que (i) um conjunto de s´ımbolos forma um alfabeto, (ii) a partir de um alfabeto (finito) formam-se (infinitas) cadeias; (iii) determinadas cadeias s˜ao escolhidas para fazer parte de uma linguagem; (iv) uma linguagem ´e um conjunto de cadeias que, por isso,

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2) Consideremos a linguagem L de pal´ındromos sobre {a, b}, ou seja, o conjunto de todas as palavras que tˆem a mesma leitura da esquerda para a direita, e vice-versa. L = {ε, a, b, aa, bb, aaa, aba, bab, bbb, aaaa, abba, baab, ....} Observemos que a concatena¸ca˜o das palavras aba e bbb de L ser´a a palavra ababbb, que n˜ao ´e um pal´ındromo, ou seja, n˜ao pertence a L. Assim, podemos dizer que a opera¸c˜ao de concaten¸c˜ao sobre uma linguagem L n˜ao ´e necessari-

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amente fechada sobre L, ou seja, a concatena¸ca˜o de duas palavras de L n˜ao ´e, necessariamente, uma palavra de L. Sendo uma linguagem qualquer cole¸ca˜o de cadeias sobre um determinado alfabeto Σ, e como Σ cont´em todas as poss´ıveis cadeias sobre Σ, ent˜ao, toda e qualquer linguagem L sobre um alfabeto Σ sempre poder´a ser definida como sendo um subconjunto de Σ∗ , ou seja, L ⊆ Σ∗ . ∗

Opera¸c˜ oes sobre Linguagens Como uma linguagem ´e definida como um conjunto, as opera¸c˜oes de uni˜ ao, interse¸ c˜ ao e diferen¸ca podem ser aplicadas: Uni˜ao: L1 ∪ L2 = {α | α ∈ L1 ou α ∈ L2 }. Interse¸ca˜o: L1 ∩ L2 = {α | α ∈ L1 e α ∈ L2 }. Diferen¸ca: L1 − L2 = {α | α ∈ L1 e α ∈ L2 }. A opera¸c˜ao de uni˜ao pode ser denotada por L1 + L2 , e a interse¸ca˜o, por L1 ∗ L2 . Exemplo: Sejam L1 = {0, 1, 11, 01, 011, 001, 111} e L2 = {1, 11, 111, 1111} definidas sobre Σ = {0, 1}. Ent˜ao: L1 ∪ L2 = L1 + L2 = {0, 1, 01, 11, 011, 001, 111, 1111}. L1 ∩ L2 = L1 ∗ L2 = {1, 11, 111}. L1 − L2 = {0, 01, 011, 001}. O complemento de um conjunto L sobre um alfabeto Σ consiste em todos os elementos de Σ∗ que n˜ao pertencem a esse conjunto. 

L = {α | α ∈ Σ∗ e α ∈ L} = Σ∗ − L. Exemplo: Sejam Σ = {a, b} e L = {an ; n ≥ 0}. Ent˜ao: Σ∗ = {ε, a, b, aa, ab, bb, aaa, aab, abb, bbb, aaaa, aaab, ...} e L = {ε, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, ...} . 6 Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação

V

(L ´e o conjunto de concatena¸c˜oes sucessivas da cadeia a, em que n indica o n´ umero de concatena¸co˜es sucessivas). (L ´´eeLogo, conjunto de de concatena¸cc˜o˜oes es sucessivas sucessivas da da cadeia cadeia a, a, em em que que n n indica indica oo n´ n´ umero mero de de concon(L oo conjunto concatena¸ u  L = {α | α ∈ Σ∗ e α ∈ L} = {b, ab, bb, aab, abb, bbb, aaab, ...}. catena¸ c o ˜ es sucessivas). catena¸co˜es sucessivas). Logo, Logo,



= {α {α || α α∈ ∈Σ Σ∗∗ ee α α ∈ ∈ L} L} = = {b, {b, ab, ab, bb, bb, aab, aab, abb, abb, bbb, bbb, aaab, aaab, ...}. ...}. L = L

# REFLITA #

# FIM FIM REFLITA# REFLITA# # Linguagem de Programa¸ c˜ ao: De acordo com (2013, p.8), podemos definir linguagem de programa¸c˜ao como uma Linguagem deMenezes Programa¸ ˜ ao: o: Linguagem de Programa¸ cc˜ a linguagem sobre um alfabeto pr´e-determinado: De acordo acordo com com Menezes Menezes As (2013, p.8), podemos podemos definir clinguagem linguagem de programa¸ programa¸ como uma De (2013, p.8), definir de ˜a˜aoo como linguagens de programa¸ ˜ao como Pascal, C e ccJava s˜ao uma linlinguagem sobre um alfabeto pr´ e -determinado: linguagem sobre um alfabeto pr´e-determinado: guagens sobre o alfabeto constitu´ıdo por letras, d´ıgitos e alguns s´ ımbolos especiais (como espa¸ ccomo o, parˆ enteses, Cpontua¸ ca˜o, etc). As linguagens de programa¸ programa¸ Pascal, Java s˜ linAs linguagens de cc˜a˜aoo como Pascal, C ee Java s˜ aaoo linNesse caso, cada programa na linguagem corresponde a uma guagens sobre o alfabeto constitu´ ıdo por letras, d´ ıgitos e alguns guagens sobre o alfabeto constitu´ıdo por letras, d´ıgitos e alguns palavra o alfabeto. seja, linguagem de programa¸ ca˜o s´ımbolos ımbolossobre especiais (comoOuespa¸ espa¸ o,uma parˆ nteses, pontua¸ pontua¸ o, etc). etc). s´ especiais (como cco, parˆ eenteses, cca˜a˜o, ´eNesse definida por todos os seus programas poss´ ıveis. Portano, Pascal, caso, cada cada programa programa na na linguagem linguagem corresponde corresponde aa uma uma Nesse caso, Java, C,sobre bemo alfabeto. como qualquer linguagem de programa¸ ca˜o, cs˜aa˜oo palavra Ou seja, uma linguagem de programa¸ palavra sobre o alfabeto. Ou seja, uma linguagem de programa¸ca˜o conjuntos definida infinitos. por todos todos os os seus seus programas programas poss´ poss´ıveis. ıveis. Portano, Portano, Pascal, Pascal, ´´ee definida por Java, C, bem como qualquer linguagem de programa¸ c a ˜ o, s˜ s˜ Java, c˜aC, qualquer programa¸ ca˜o, aaoo Uma linguagem de programa¸ o ´ebem um como vocabul´ ario e umlinguagem conjunto de regras gramaticais conjuntos infinitos. conjuntos infinitos. Esses programas instruem o computador a reusadas para escrever programas de computador. alizar determinadas espec´ıficas. Cada linguagem um conjunto u ´nico de palavrasUma linguagem tarefas de programa¸ programa¸ um vocabul´ vocabul´ rio possui um conjunto conjunto de regras regras gramaticais Uma linguagem de cc˜a˜aoo ´´ee um aario ee um de gramaticais chaves (palavras que ela reconhece) e uma sintaxe (regras) espec´ ıfica para organizar as instru¸ es usadas para para escrever escrever programas programas de de computador. computador. Esses Esses programas programas instruem instruem oo computador computador aaco˜rereusadas dos programas. alizar determinadas determinadas tarefas tarefas espec´ espec´ıficas. ıficas. Cada Cada linguagem linguagem possui possui um um conjunto conjunto u u nico de de palavraspalavrasalizar ´´nico Um compilador de uma linguagem de programa¸ c a ˜ o ´ e um programa de sistema que traduz chaves (palavras (palavras que que ela ela reconhece) reconhece) ee uma uma sintaxe sintaxe (regras) (regras) espec´ espec´ıfica ıfica para para organizar organizar as as instru¸ instru¸ es chaves cco˜o˜es um programa escrito em uma linguagem de alto n´ ıvel (linguagem fonte) para um programa dos programas. dos programas. equivalente em c´odigo m´alinguagem quina para de umprograma¸ processador (linguagem objeto). Para desempenhar Um compilador compilador de de uma um programa programa de sistema sistema que traduz traduz Um de uma linguagem de programa¸cca˜a˜oo ´´ee um de que suas tarefas, um compilador deve executar dois tipos de atividade. A primeira atividade ´e a um programa programa escrito escrito em em uma uma linguagem linguagem de de alto alto n´ n´ıvel ıvel (linguagem (linguagem fonte) fonte) para para um um programa programa um equivalente em em c´ c´ digo de de m´ m´ quina para para um um processador processador (linguagem (linguagem objeto). objeto). Para Para desempenhar desempenhar equivalente oodigo aaquina 7 suas tarefas, um compilador deve executar dois tipos de atividade. A primeira atividade suas tarefas, um compilador deve executar dois tipos de atividade. A primeira atividade ´´ee aa APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Toda a teoria # deve ser feita para poder ser posta em pr´ atica, e toda a pr´ atica deve obedecer # REFLITA REFLITA # # a uma teoria. S´o os esp´ıritos superficiais desligam a teoria da pr´ atica, n˜ ao olhando a que a teoria n˜ a o ´ e sen˜ a o uma teoria da pr´ a tica, e a pr´ a tica n˜ a o ´ e sen˜ a o a pr´ a tica de Toda aa teoria teoria deve deve ser ser feita feita para para poder poder ser ser posta posta em em pr´ pr´ tica, ee toda toda aa pr´ pr´ ticauma deveteoria. obedecer Toda aatica, aatica deve obedecer Fonte: Fernando Pessoa a uma teoria. S´ o os esp´ ıritos superficiais desligam a teoria da pr´ a tica, n˜ a o olhando que aa a uma teoria. S´o os esp´ıritos superficiais desligam a teoria da pr´ atica, n˜ ao olhando aa que teoria n˜ n˜ sen˜ uma teoria teoria da da pr´ pr´ tica, ee aa pr´ pr´ tica n˜ n˜ sen˜ pr´ tica de de uma uma teoria. teoria. teoria aaoo ´´ee sen˜ aaoo uma aatica, aatica aaoo ´´ee sen˜ aaoo aa pr´ aatica # FIM REFLITA# Fonte: Fernando Pessoa Fonte: Fernando Pessoa

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an´alise (an´alise l´exica, an´alise sint´atica e an´alise semˆantica) do c´odigo fonte, onde a estrutura e significado do programa de alto n´ıvel s˜ao reconhecidos. A segunda atividade ´e a s´ıntese do programa equivalente em linguagem simb´olica (gera¸ca˜o e otimiza¸ca˜o do c´odigo execut´avel). De maneira resumida, podemos dizer que a an´alise verifica se um dado programa fonte p ´e, de fato, um programa v´alido para a linguagem L, ou seja, verifica se p ∈ L.

Caso p ∈ L, o compilador deve alertar o programador para que esse corrija os eventuais problemas do programa. Logo, a an´alise de um compilador verifica se o programa fornecido de fato petence `a linguagem ou ao complemento da linguagem, ou seja, verifica se p ∈ L ou p ∈ L, ou melhor, se:



p ∈ L ou p∈ L .

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Conjuntos nas Linguagens de Programa¸ c˜ ao Na linguagem de programa¸ca˜o Pascal, ´e poss´ıvel definir tipos de dados baseados em conjuntos finitos, vari´aveis conjuntos sobre esses tipos de dados, bem como constantes conjuntos (tamb´em finitos). Pascal possui as seguintes opera¸co˜es sobre conjuntos: A or B

Uni˜ao entre conjuntos

A and B

Interse¸c˜ao de conjuntos

A−B

Diferen¸ca de conjuntos

a in A

Testa a presen¸ca de um elemento no conjunto A.

A 70) writeln(‘Eleitor facultativo’); else writeln(‘Eleitor obrigat´ orio’); Podemos observar o uso dos conectivos l´ogicos nesse trecho de programa. Se a pessoa tem menos de 16 anos, ent˜ ao, n˜ao ´e eleitor; se a pessoa tem menos de 18 ou mais de 70 anos, ent˜ao ´e um eleitor facultativo, e se tem 18 anos ou mais e 70 anos ou menos, ent˜ ao, ´e um Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

eleitor obrigat´orio. Est˜ao impl´ıcitas tamb´em, nesse programa, opera¸co˜es com conjuntos: O conjunto universo U ´e o conjunto de todas as idades. O conjunto dos “N˜ao-eleitores” ´e dado por: N E = {x ∈ U | x < 16}. O conjunto dos “Eleitores facultativos” ´e dado por: EF = {x ∈ U | (x ≥ 16 e x <

18) ou (x > 70)}.

O conjunto dos “Eleitores obrigat´orios” ´e dado por EO = {x ∈ U | x ≥ 18 e x ≤ 70}. Podemos observar tamb´em que N E, EF e EO s˜ao disjuntos, ou seja, n˜ao tˆem interse¸ca˜o.

PROLOG

Algumas linguagens de programa¸c˜ao, tais como C, Pascal e Basic s˜ao linguagens procedimentais (ou imperativas), ou seja, especificam como deve ser feita alguma coisa. Codificam algoritmos. O programador, portanto, est´a dizendo para o computador como resolver o problema passo a passo. Algumas linguagens de programa¸c˜ao, ao inv´es de procedimentais, s˜ao linguagens declarativas ou linguagens descritivas. Segundo Gersting(2004), uma linguagem declarativa baseia-se na l´ogica de predicados; essa linguagem j´a vem equipada com suas pr´oprias regras de inferˆencia. No paradigma descritivo o programador implementa uma descri¸c˜ao do problema e n˜ao as instru¸co˜es para sua resolu¸ca˜o. 9 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

©shutterstock

Programa¸c˜ ao em L´ ogica e Prolog

133

Um programa escrito em linguagem declarativa constitui-se de uma cole¸c˜ao de fatos e regras que s˜ao utilizadas por um “motor de inferˆencia” para checar se uma consulta pode ser deduzida desta cole¸c˜ao: o usu´ario coloca perguntas, procurando informa¸c˜ao sobre conclus˜oes poss´ıveis dedut´ıveis das hip´oteses, e o programa aplica suas regras de inferˆencia `as hip´oteses para ver quais das conclus˜oes respondem a` pergunta do usu´ario. Prolog - Programming in Logic (Programando em L´ogica) - ´e uma linguagem declarativa, ou seja, especifica o quˆe se sabe e o quˆe deve ser feito. Prolog ´e mais direcionada ao conhecimento, menos direcionada aos algoritmos. Na l´ogica de predicados, usamos regras de inferˆencia para demonstrar que uma tese ´e consequˆencia de determinadas hip´oteses. Programa¸ca˜o em L´ogica e, especificamente, a linguagem

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Prolog tamb´em pode provar teses a partir de hip´oteses. A linguagem Prolog inclui: predicados, conectivos l´ogicos e regras de inferˆencia - Princ´ıpio da Resolu¸ca˜o. Um programa Prolog ´e uma cole¸c˜ao de fatos e regras. Fatos s˜ao sempre verdadeiros, mas as regras precisam ser avaliadas. Como criar um fato em uma base Prolog: homem(x). - significa que “x ´e um homem”; ´ responsabilidade do genitor(x, y). - significa que “x ´e genitor de y” ou “y ´e genitor de x”. E programador definir os predicados corretamente. O conjunto de declara¸co˜es que forma um programa Prolog ´e chamada a base de dados (BD) desse programa. Para determinar se uma tese (consulta do usu´ario `a BD) ´e ou n˜ao verdadeira, Prolog aplica suas regras de inferˆencia na BD sem a necessidade de instru¸co˜es adicionais por parte do programador. Banco de Dados convencionais descrevem apenas fatos. “Tio Patinhas ´e um pato.” As senten¸cas de um Programa em L´ogica, al´em de descrever fatos, permite a descri¸c˜ao de regras. “Todo pato ´e uma ave.” Havendo regras, novos fatos podem ser deduzidos. “Tio Patinhas ´e uma ave.”

Vejamos a tabela de convers˜ao dos operadores Prolog:

10 PROLOG

V

Linguagem Natural

L´ ogica

Programas Prolog

E



,

OU SE ˜ NAO



← ¬

; :not

Como exemplo, suponha que queremos criar um programa em prolog que descreva a a´rvore geneal´ogica de uma fam´ılia:

progenitor(ana, lucas) progenitor(ana, antonio) progenitor(paulo, antonio) progenitor(antonio, lu´ısa) progenitor(antonio, beatriz) progenitor(beatriz, felipe). Esse programa representa a rela¸ca˜o progenitor, na forma de um predicado, que cont´em 6 cl´ausulas, que s˜ao todas fatos. O programa pode ser pensado como uma tabela em um banco de dados, que pode ser consultada de v´arias maneiras. A pergunta 11 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Podemos come¸car com um predicado bin´ario progenitor. Descrevemos ent˜ao o predicado fornecendo os pares de elementos no dom´ınio que tornam progenitor verdadeiro, gerando os seguintes fatos no banco de dados:

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?progenitor(paulo, antonio) questiona se o fato progenitor(paulo, antonio) pertence ao banco de dados, ou melhor, se Paulo ´e progenitor de Antonio. ?progenitor(paulo, antonio) true As consultas podem ser feitas de v´arias maneiras: ? progenitor(ana, lucas) true

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? progenitor(antonio, lucas) fail ? progenitor(antonio, X) X=lu´ısa X=beatriz fail O programa respondeu a` pergunta buscando no banco de dados todos os fatos (antonio, X), em que X ´e uma vari´avel. A resposta “lu´ısa” ´e dada primeiro porque a busca ´e feita ordenadamente, de cima para baixo. faill indica que n˜ao existem mais respostas que satisfa¸cam a consulta. Outro exemplo: ? progenitor(X, Y) X X X X

= = = =

ana; Y = lucas ana; Y = antonio paulo; Y = antonio antonio; Y = lu´ısa

X = antonio; Y = beatriz X = beatriz; Y = felipe fail Podemos ampliar o programa acrescentando novos fatos que poder˜ao estabelecer novas rela¸co˜es. Para o nosso exemplo, vamos adicionar a descri¸ca˜o de dois predicados un´arios, masculino e feminino ao banco de dados colocando os fatos: masculino(paulo) masculino(lucas) masculino(antonio) masculino(felipe)

12 PROLOG

V

feminino(ana) feminino(lu´ısa) feminino(ana) feminino(beatriz) feminino(lu´ısa) feminino(beatriz) Regras s˜ao utilizadas para construir rela¸co˜es entre fatos, explicitando as dependˆencias entre eles. Ao contr´ario dos fatos, que s˜ao incondicionais, as regras especificam coisas que podem ser Regras s˜ao utilizadas para construir rela¸co˜satisfeitas. es entre fatos, explicitando as dependˆencias entre verdadeiras se algumas condi¸ c˜oes forem eles. Ao contr´ario dos fatos, que s˜ao incondicionais, as regras especificam coisas que podem ser verdadeiras se algumas c˜oes forem satisfeitas. A declara¸ ca˜o decondi¸ regras (axiomas) em linguagem de programa¸ca˜o l´ogicas segue um padr˜ao conhecido como cl´ ausulas de Horn: A declara¸ca˜o de regras (axiomas) em linguagem de programa¸ca˜o l´ogicas segue um padr˜ao conhecido como cl´ ausulas de Horn: H ← A1 , A2 , A3 , · · · , An

Em prolog, cabe¸cde a eHorn o corpo s˜ao cadeia separados pelo s´ımbolo “:-”, que ´e lido como “se”. Uma cl´aausula ´e uma de express˜ oes v´alidas composta de predicados ou da nega¸ca˜o de predicados conectadas por disjun¸c˜oes, de tal forma que, no m´aximo, um predicado Uma cl´ausula de Horn ´e uma cadeia de express˜oes v´alidas composta de predicados ou da n˜ao esteja negado. nega¸ca˜o de predicados conectadas por disjun¸c˜oes, de tal forma que, no m´aximo, um predicado n˜ao esteja Pornegado. meio de regras pode-se estabelecer rela¸co˜es entre fatos. Por Exemplo: meio de regras pode-seagora, estabelecer rela¸co˜as es rela¸ entre fatos. podemos, estabelecer c˜oes “pai” e “m˜ae” da seguinte forma: Emc˜oProlog: Exemplo: podemos, agora, estabelecer as rela¸ es “pai” e “m˜ae” da seguinte forma: X ´e pai de Y se Em Prolog: X ´e progenitor de Y e X ´e masculino pai(X,Y):- progenitor(X,Y), masculino(X). X ´e X pai´e de Y se m˜ae de Y se X ´e X progenitor de Ydee Y X ´e X masculino progenitor(X,Y), masculino(X). ´e progenitor ´e femininopai(X,Y):m˜ae(X,Y):progenitor(X, Y) , feminino(X). X ´e m˜ae de Y se X ´e progenitor de Y e X ´e feminino m˜ae(X,Y):- progenitor(X, Y) , feminino(X). Dessa forma, podemos obter as respostas `as perguntas: ?pai(paulo, Y) Dessa forma, podemos obter as respostas `as perguntas: Y=Antonio ?pai(paulo, Y) fail Y=Antonio fail ?m˜ae(X, lucas) X = ana ?m˜ae(X, fail lucas) X = ana fail APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

13 13

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H ´e verdadeiro se A1 ´e verdadeiro, ... , e An ´e verdadeiro, ou, se todos os A22 ,´eAverdadeiro, H ← Ae1 ,A 3 , · · · , An Ai s˜ao verdadeiros, ent˜ao, H ´e verdadeiro. Na express˜ao acima, H ´e denominado a cabe¸ca (conHclus˜ ´e verdadeiro se A1 ´e verdadeiro, e, A verdadeiro, ...´e,oeseu An corpo ´e verdadeiro, todos os (condi¸ca˜ou, o ouseantecedente). ao ou consequente) da cl´ausulae eAA 2 1´ 2 , A3 , ..., An Ai s˜ao verdadeiros, ent˜ao, H ´e verdadeiro. Na express˜ao acima, H ´e denominado a cabe¸ca (con,aA , A3 , ..., Anpelo ´e o seu corpo“:-”, (condi¸ ca˜´eo lido ou antecedente). clus˜ao ou consequente) da ccl´ e A1s˜ Em prolog, a cabe¸ aaeusula o corpo o 2separados s´ımbolo que como “se”.

137

Agora, tamb´em podemos estabelecer outras regras, tais como irm˜ ao ou irm˜ a; avˆ o(´ o); tio(a). * Irm˜a Vamos supor que desej´assemos consultar o programa para descobrir quem ´e irm˜a de Beatriz. Ent˜ao, primeiro devemos fazer a pergunta: “Quem ´e o pai de Beatriz?”. Digamos que a resposta seja X, ent˜ao, depois, deveremos descobrir quais s˜ao os genitores Y de X que s˜ao do sexo feminino: ?pai(X,beatriz), progenitor(X, Y), feminino(Y), not(Y= beatriz)

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X = antonio Y = lu´ısa fail Obs: not(Y = beatriz) denota que Y deve ser filha de X, mas n˜ao beatriz. Rela¸ca˜o irm˜a

Em Prolog

X ´e irm˜a de Y se irm˜a(X,Y):Z ´e progenitor de X e progenitor(Z, X), Z ´e progenitor de Y e progenitor(Z, Y), feminino(Y), Y ´e feminino e not(X = Y). X=Y Como os fatos e as regras do Prolog se relacionam com a l´ogica de predicados mais formal? Podemos descrever os fatos em nosso banco de dados do exemplo pelas seguintes cadeias que formam express˜oes v´alidas, ou f´ ormulas bem formuladas - fbf: (P: progenitor; M: masculino e F: feminino) P(ana,lucas) P(ana, antonio) P(paulo, antonio) P(antonio, lu´ısa) P(antonio, beatriz) P(beatriz, felipe) M(paulo) M(lucas) M(antonio) M(felipe) F(ana) 14

PROLOG

V

F(lu´ ısa) F(lu´ ısa) F(lu´ ısa) F(beatriz) F(beatriz) F(beatriz) regra “ser m˜ e” pela fbf ee aeaaregra aae” regra“ser “serm˜ m˜ ae”pela pelafbf fbf

P(X,Y)∧ F(X)→ M˜ e(X) P(X,Y)∧ aae(X) P(X,Y)∧F(X)→ F(X)→M˜ M˜ ae(X) Quantificadores universais n˜ aooafazem parte expl´ ıcita da regra como ela aparece em um programa Quantificadores universais n˜ an˜ parte expl´ ıcita da regra como ela aparece em um programa Quantificadores universais ofazem fazem parte expl´ ıcita da regra como ela aparece em um programa em Prolog, mas linguagem trata regra como seseestivesse estivesse universalmente quantificada: em emProlog, Prolog,mas masaaalinguagem linguagemtrata trataaaaregra regracomo comose estivesseuniversalmente universalmentequantificada: quantificada: (∀X), (∀Y F(X)→ M˜ e(X)], (∀X), (∀Y )) [P(X,Y) aae(X)], (∀X), (∀Y )[P(X,Y) [P(X,Y)∧∧∧F(X)→ F(X)→M˜ M˜ ae(X)],

Temos que fbf Temos Temosque queaaafbf fbf ¬[P (X, ¬[F (X)] m˜ e(X) ¬[P (X, YYY )])])] ∨∨∨ ¬[F (X)] ∨∨∨ m˜ aae(X) ¬[P (X, ¬[F (X)] m˜ ae(X) um exemplo dedeuma uma cl´ ausula usula dedeHorn, Horn, j´ que consite dedetrˆ trˆ essespredicados predicados conectados por ´e´e´eum acl´ aaj´aque etrˆ umexemplo exemplode umacl´ ausulade Horn,j´ queconsite consitede predicadosconectados conectadospor por disjun¸ es com apenas m˜ e(X) n˜ aooaonegado. negado. Pelas leis dedeDe De Morgan, ela disjun¸ cco˜o˜ces aae(X) an˜ disjun¸ o˜escom comapenas apenasm˜ m˜ ae(X)n˜ negado.Pelas Pelasleis leisde DeMorgan, Morgan,ela ela´e´e´equivalente eequivalente equivalenteaaa ¬[P (X, m˜ e(X) ¬[P (X, YYY ))∧)∧∧ FF(X)] ∨∨∨ m˜ aae(X) ¬[P (X, F(X)] (X)] m˜ ae(X) que que que´e´e´equivalente eequivalente equivalenteaaa [P[P (X, →→m˜ m˜ e(X) [P (X, YYY ))∧)∧∧ FF(X)] aae(X) (X, F(X)] (X)]→ m˜ ae(X) que representa regra em Prolog do nosso exemplo. que querepresenta representaaaaregra regraem emProlog Prologdo donosso nossoexemplo. exemplo. Para descobrir novas rela¸ es, uma linguagem dedeprograma¸ programa¸ gica utiliza um processo Para cco˜o˜ces, cc˜a˜acoo˜aol´l´ oogica Paradescobrir descobrirnovas novasrela¸ rela¸ o˜es,uma umalinguagem linguagemde programa¸ l´ ogicautiliza utilizaum umprocesso processo conhecido como resolu¸ regra dede resolu¸ Prolog procura por um termo nega¸ conhecido como resolu¸ cca˜a˜co.o. regra de resolu¸ cca˜a˜cooa˜do Prolog procura por um termo eesua nega¸ cc˜a˜acoo˜ao conhecido como resolu¸ a˜o.AAA regra resolu¸ odo do Prolog procura por um termo esua sua nega¸ para inferir uma cl´ ausula usula dededuas duas dadas. para acl´ parainferir inferiruma umacl´ ausulaee Horn eHorn Hornde duasdadas. dadas. Exemplificando, para responder pergunta “quais s˜ m˜ es?”, Prolog busca no banco dede Exemplificando, aas˜ ooaom˜ aaes?”, Exemplificando,para pararesponder responderaaapergunta pergunta“quais “quaisXXXs˜ m˜ aes?”,Prolog Prologbusca buscano nobanco bancode dados uma regra que tenha predicado desejado m˜ e(X) como cabe¸ Encontra dados aae(X) cca.a. dadosuma umaregra regraque quetenha tenhaooopredicado predicadodesejado desejadom˜ m˜ ae(X)como comocabe¸ cabe¸ ca.Encontra Encontra ¬[P (X, ¬[F (X)] m˜ e(X) ¬[P (X, YYY )])])] ∨∨∨ ¬[F (X)] ∨∨∨ m˜ aae(X) ¬[P (X, ¬[F (X)] m˜ ae(X) Procura, ent˜ no banco dededados dados por cl´ ausulas usulas que podem ser resolvidas com essa. Procura, aa,o,o acl´ Procura,ent˜ ent˜ a,ono nobanco bancode dadospor porcl´ ausulasque quepodem podemser serresolvidas resolvidascom comessa. essa.AAA primeira delas fato P(ana, lucas). Essas duas cl´ ausulas usulas seseresolvem resolvem em: primeira acl´ primeiradelas delas´e´e´oeoofato fatoP(ana, P(ana,lucas). lucas).Essas Essasduas duascl´ ausulasse resolvemem: em: ¬[F (ana)] m˜ e(ana) ¬[F (ana)] ∨∨∨ m˜ aae(ana) ¬[F (ana)] m˜ ae(ana)

1515 15 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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para retirar osos quantificadores universais veis eeusa aaparticulariza¸ cc˜a˜acoo˜auniversal para retirar os quantificadores universais eepermitir a`a`ssa`vari´ aaveis eusa usa aparticulariza¸ particulariza¸ ouniversal universal para retirar quantificadores universais epermitir permitir svari´ vari´ aveis assumir todos ososvalores valores do conjunto universo. assumir assumirtodos todosos valoresdo doconjunto conjuntouniverso. universo.

139

e como F(ana) ´e verdadeiro, o Prolog infere que m˜ae(ana), pois F (ana), ¬[F (ana)] ∨ m˜ae(ana) ≡ F (ana), F (ana) → m˜ae(ana) ≡ m˜ae(ana), pela regra

Modus Ponens. Tendo obtido todas as resolu¸c˜oes poss´ıveis do fato P(ana, lucas), Prolog volta para tr´as, procurando uma nova cl´ausula que possa ser resolvida com a regra; dessa vez encontraria P(ana, antonio).

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Caminho Cr´ıtico no Diagrama PERT No estudo de Rela¸c˜oes, na unidade III, foi introduzido o conceito de diagrama PERT - Programming Evaluation and Review Technique, que significa t´ecnica para an´ alise e revis˜ ao do programa. S˜ao trˆes as caracter´ısticas essenciais para a utiliza¸c˜ao do PERT: 1. O projeto ´e constituido por um conjunto bem definido de atividades cuja finaliza¸ca˜o corresponde ao fim do projeto. 2. As atividades podem come¸car ou parar independentemente umas das outras, em uma dada sequˆencia. 3. As atividades s˜ao ordenadas, isto ´e, devem ser realizadas em uma sequˆencia tecnol´ogica bem determinada.

Em um diagrama PERT (ou diagrama de Rede), denomina-se caminho a qualquer sequˆencia de atividades, que leve do n´o inicial ao n´o final, ou seja, do in´ıcio ao fim do projeto. Constru¸ c˜ ao do diagrama PERT Na Unidade III, constru´ımos o diagrama PERT em que as tarefas eram os n´os e as setas apontavam para as tarefas a partir de seus pr´e-requisitos. Tamb´em podemos construir o diagrama, considerando que ele ´e constitu´ıdo por uma rede desenhada com base em dois elementos: - atividades (representados por setas); - acontecimentos (ou eventos) representados por c´ırculos (n´os).

16 Caminho Crítico no Diagrama PERT

V

Para cada projeto, ´e constru´ıdo o respectivo grafo: as atividades s˜ao representadas por letras e os acontecimentos s˜ao representados por n´ umeros. Ambos se desenvolvem da esquerda para para direita e de cima para baixo. As atividades representam as tarefas a executar e, em geral, traduzem-se por per´ıodos de tempo ou recursos humanos ou financeiros a utilizar. Cada atividade possui um in´ıcio e um fim, que s˜ao pontos no tempo. Esses pontos no tempo s˜ao conhecidos como eventos. A seta aponta para o c´ırculo que representa o evento final, para dar a ideia de progress˜ao no tempo. Exemplo: consideremos o seguinte diagrama de rede onde as atividades s˜ao denotadas por A, B, C, D, E, F.

Chama-se de dura¸ c˜ ao de um caminho a` soma das dura¸c˜oes de todas as atividades que o comp˜oem. Exemplo Vamos supor que os tempos para cada atividade do diagrama anterior sejam dados pela seguinte tabela: A

B

C

D

E

F

7h

2h

5h

3,5h

13h

8h

Logo, - o caminho 1 (A C E F) ter´a dura¸c˜ao de 7 + 5 + 13 + 8 = 33h; - o caminho 2 (B D E F) ter´a dura¸c˜ao de 2 + 3, 5 + 13 + 8 = 26, 5h.

17 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Para esse diagrama, podemos distinguir dois caminhos, contendo as seguintes atividades: Caminho 1: A C E F. Caminho 2: B D E F.

141

Caminho Cr´ıtico Em um Diagrama de Rede, o caminho com a maior dura¸ca˜o ´e chamado de caminho cr´ıtico e governa o tempo de t´ermino do projeto: o tempo de t´ermino de um projeto ´e igual `a dura¸ca˜o de seu caminho cr´ıtico. Qualquer atraso nesse caminho, automaticamente, determinar´a um atraso no projeto. As atividades do caminho cr´ıtico s˜ao chamadas de atividades cr´ıticas, e nenhuma dessas atividades pode se atrasar sem que o projeto tamb´em se atrase. Em uma linguagem t´ıpica, dizemos que essas atividades n˜ao tˆem folga ou, equivalentemente, que sua folga ´e zero.

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Em outros caminhos que n˜ao o caminho cr´ıtico, as atividades podem sofrer algum atraso sem que isso implique em atraso do projeto. Resumidamente, . Caminho cr´ıtico ´e o conjunto de atividades e que qualquer atraso compromete todo o projeto. ´ o caminho de maior dura¸c˜ao na rede. . E

Exemplos: 1) Para o diagrama anterior, temos que o caminho 1 (A C E F) ´e o caminho cr´ıtico. Observemos que um limite superior para o tempo necess´ario para se completar o projeto pode ser obtido somando-se o tempo para se completar cada tarefa, mas assim, n˜ao estar´ıamos levando em conta o fato de que alguma tarefas podem ser realizadas paralelamente, como as tarefas B e C, por exemplo. 2) Calcule o tempo m´ınimo para se completar o projeto de produ¸ca˜o de uma cadeira de balan¸co, e os n´os do caminho cr´ıtico.

18 Caminho Crítico no Diagrama PERT

V

Tarefa

Pr´e-requisitos Horas para conclus˜ao

Sele¸ca˜o da madeira

N/A

3

2.

Entalhamento dos arcos

1

4

3.

Entalhamento do assento

1

6

4.

Entalhamento do encosto

1

7

5.

Entalhamento dos bra¸cos

6.

Escolha do tecido

7.

Costura da almofada

8.

Montagem: assento e encosto

9.

Fixa¸ca˜o dos bra¸cos

5; 8

2

10.

Fixa¸ca˜o dos arcos

2; 8

3

11.

Verniz

9; 10

5

12.

Instala¸ca˜o almofada

7; 11

0.5

1

3

N/A

1

6

7

3; 4

2

Tabela 2: Agendamento de tarefas sobre a constru¸ca˜o de cadeiras de balan¸co. Fonte: adaptado de Gersting (2004, p.218) Vimos que o diagrama PERT para esse exemplo ´e:

Segundo Gersting (2004, p.219), para obter o tempo m´ınimo necess´ario para se completar esse projeto, podemos analisar o diagrama da esquerda para a direita, calculando, para cada n´o, o tempo m´ınimo para se completar o trabalho do in´ıcio at´e aquele n´o. Para se completar uma tarefa x que tem diversos pr´e-requisitos, devemos observar que todos os pr´e-requisistos dever˜ao estar completos antes que a tarefa x seja iniciada. Logo, devemos somar ao tempo necess´ario para se executar a tarefa x o tempo m´aximo entre os tempos necess´arios para que se conclua cada pr´e-requisito. Vamos calcular o tempo necess´ario para se completar cada tarefa para este exemplo:

19 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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1.

143

. Tarefa 1: 3h. . Tarefa 2: 3h + 4h = 7h. . Tarefa 3: 3h + 6h = 9h. . Tarefa 4: 3h + 7h = 10h. . Tarefa 5: 3h + 3h = 6h. . Tarefa 6: 1h. . Tarefa 7: 1h + 2h = 3h. . Tarefa 8: m´ax(T3; T4) + T8 = m´ax(tempo para completar a tarefa 3; tempo para Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

completar a tarefa 4) + tempo para completar a tarefa 8 = m´ax(9h ; 10h)+ 2h = 12h. . Tarefa 9: m´ax(T5; T8) + T9 = m´ax(6h ; 12h)+ 2h = 12h + 2h = 14h. . Tarefa 10: m´ax(T2; T8) + T10 = m´ax(7h ; 12h) + 3h = 12h + 3h = 15h. . Tarefa 11: m´ax(T9; T10) + T11 = m´ax(14h ; 15h) + 5h = 15h + 5h = 20h. . Tarefa 12: m´ax(T7; T11) + T12 = m´ax(3h ; 20h) + 0, 5h = 20h + 0, 5h = 20, 5h.

Assim, o n´ umero m´ınimo de horas para se produzir uma cadeira de balan¸co ´e 20, 5h. Para obter os n´os do caminho cr´ıtico, devemos percorrer o diagrama inversamente, a partir do n´o 12, selecionando em cada ponto com mais de um pr´e-requisito o n´o que contribuiu com o valor m´aximo. Obter´ıamos a sequˆencia 12, 11, 10, 8, 4, 1. Logo, os n´os do caminho cr´ıtico s˜ao 1, 4, 8, 10, 11, 12. As atividades sobre esse caminho s˜ao as Atividades Cr´ıticas (Atividades Gargalos), ou seja, qualquer atraso em uma dessas atividades ir´a atrasar a dura¸c˜ao de todo o projeto. Com rela¸c˜ao `as demais atividades, elas poder˜ao ou n˜ao atrasar a dura¸ca˜o de todo o projeto caso sofram algum atraso. Se uma tarefa que n˜ao est´a no caminho cr´ıtico atrasar, o caminho cr´ıtico poder´a ser modificado para se incluir esse n´o (gargalo que pode atrasar a finaliza¸ca˜o do projeto). Dessa forma, podemos concluir que, em um projeto complexo, o caminho cr´ıtico deve ser continuamente recalculado para que decidam o melhor lugar para se alocar recursos de modo que o projeto progrida.

20 Caminho Crítico no Diagrama PERT

V

Autˆ omatos Finitos

1. Fita: dispositivo de entrada que cont´em a informa¸c˜ao a ser processada. ´ dividida em c´elulas em que cada uma armazena um s´ımbolo pertencente a um alfabeto E de entrada. N˜ao ´e poss´ıvel gravar sobre a fita; n˜ao existe mem´oria auxiliar. Inicialmente a palavra a ser processada, isto ´e, a informa¸ca˜o de entrada ocupa toda a fita. 2. Unidade de Controle: reflete o estado corrente da m´aquina. Possui uma unidade de leitura (cabe¸ca de leitura, que acessa uma unidade da fita de cada vez. Pode assumir um n´ umero finito e pr´e-definido de estados. Ap´os cada leitura, a cabe¸ca move-se uma c´elula para a direita.

21 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Um sistema de estados finitos ´e um modelo matem´atico de um sistema com entradas e sa´ıdas discretas que pode assumir um n´ umero finito e pr´e-definido de estados. Cada estado resume somente as informa¸co˜es do passado necess´arias para determinar as a¸co˜es para a pr´oxima entrada. O autˆomato finito ou (m´aquina de estados finitos) ´e o primeiro modelo computacional de defini¸ca˜o de linguagens que s˜ao definidas por mecanismo de reconhecimento, que pode ser encarado como um teste aplicado a cada caractere da palavra. Um autˆomato ´e usado para verificar se uma palavra w pertence a uma linguagem L, ou seja, o autˆomato verifica se w∈ L ou w ∈ L. A linguagem reconhecida pelo autˆomato finito ´e constitu´ıda por todas as palavras que passem no teste. Este teste ´e aplicado de forma incremental, percorrendo os s´ımbolos da palavra, um a um, a partir do seu in´ıcio, e a decis˜ao final s´o surge ap´os o percurso completo da palavra, conferindo a qualidade computacional dos autˆomatos finitos. Segundo Menezes (2013, p.120), um Autˆ omato Finito Determin´ıstico, ou simplesmente autˆomato finito, pode ser visto como uma m´aquina composta basicamente por trˆes partes:

145

3. Programa oucFun¸ cFun¸ aoTransi¸ ˜ de cfun¸ ao:cca˜fun¸ ˜ ca˜fun¸ o comanda que as leituras e define o estado da da 3. Programa 3. Programa ou Fun¸ aou ˜ o de c˜ aoTransi¸ de c˜ ao: Transi¸ aoo:que ˜ ca˜o comanda que comanda as leituras aseleituras define oe estado define da o estado m´aquina. Dependendo do estado corrente do es´ımbolo lido, determina o novo estado m´aquina. m´ Dependendo aquina. Dependendo do estado docorrente estado ecorrente do es´ımbolo do lido, s´ımbolo determina lido, determina o novo estado o novo estado doomato. autˆ Usa-se o conceito de estado para armazenar as informa¸ o˜es cnecess´ a`ariasa`arias `a do autˆ doomato. autˆ Usa-se omato. o Usa-se conceito o de conceito estado depara estado armazenar para armazenar as informa¸ asco˜informa¸ es cnecess´ o˜aesrias necess´ determina¸ ca˜opr´ do oximo estado, uma vez n˜ que n˜ h´ a oamem´ oria oauxiliar. determina¸ determina¸ ca˜o do coa˜ximo opr´ do estado, pr´oximo uma estado, vez que uma vez ao h´ que aaoδmem´ n˜ oh´ ria a bmem´ auxiliar. ria auxiliar. q0

q1

q2

q1

qf

q2

q 2 q1 qf A figura a seguir representa umomato autˆ finito como uma m´aquina com controle finito: A figura aAseguir figura representa a seguir representa um autˆ umomato autˆ finito omato como finito uma como m´aquina uma m´ com aquina controle com finito: controle finito: qf q f qf

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A ilustra¸ca˜o para esse autˆomato ´e:

Defini¸ ˜ ao:co Autˆ mato Finito Determin´ ıstico (AFD) Defini¸ c˜ aDefini¸ o: cAutˆ ˜ amato o: o Autˆ Finito omato Determin´ Finito Determin´ ıstico (AFD) ıstico (AFD) autˆomato finito determin´ ıstico (AFD), ou simplesmente autˆomato finito e(M)´ uma Um Um autˆoUm mato autˆ finito omato determin´ finito ıstico determin´ (AFD), ıstico ou (AFD), simplesmente ou simplesmente autˆomato autˆ finito omato (M)´ finito e(M)´ uma e uma qu´ ıntupla: qu´ıntupla:qu´ıntupla: F q),0 , F ), (Σ, q),0 ,δ, FQ, M =M (Σ,=Q, M δ, =Q, q(Σ, 0 ,δ, em que: em que: em que: Observemos que, relativamente ao estado q0 , podemos ter: Σ - Alfabeto de s´ımbolos de entrada Σ - Alfabeto Σ - Alfabeto de s´ımbolos de s´ de ımbolos entrada de entrada • com origem no estado q0 , ao ler o s´ımbolo a, o autˆomato assume o estado q1 , o que Q - Conjunto de estados poss´ıveis doomato autˆ Q - Conjunto Q - Conjunto finitofinito de estados finito deposs´ estados ıveis poss´ do autˆ ıveis doomato autˆomato podemos representar pelo par ordenado ((q0 , a), q1 ). δ -cFun¸ cFun¸ ˜aoTransi¸ de ca˜oFun¸ ou cFun¸ a˜o Programa δ - Fun¸ ˜aδo -de c˜aoTransi¸ de ca˜oTransi¸ ou ca˜coFun¸ a˜ou o Programa ca˜o Programa • com origem no estado q0 , ao ler o s´ımbolo b, o autˆomato assume o estado q2 , o que ΣQ× →ΣQ→ ((q δ : pelo Qδ×: Q Σδ× → : ordenado Q Q 0 , b), q2 ). podemos representar par Por essa fun¸ ˜afun¸ o, ctemos que, seest´ Maseest´ no estado Q entrada oomato autˆ vaianterior. para Por essa fun¸ Porc˜aessa o,Octemos ˜ao, que, temos se Mque, no Maestado est´ noQ estado e vˆ Q entrada ea vˆ e a“memorizar” a,entrada o a, autˆ a, ooomato autˆ vaiomato para vai paraAssim, s´ımbolo algoritmo apresentado usa os aestados qe1 ea qvˆ 2e para o estado δ(q, o estado δ(q, o estado a), δ(q, a), representa “o s´ımbolo anterior ´e a” e q2 representa “o s´ımbolo anterior ´e b”. q1 a), ou melhor ou melhor ou melhorAp´os identificar dois a ou dois b consecutivos ((aa) ou (bb)), o autˆomato assume o estado segundo ac˜aqfun¸ c˜afun¸ otransi¸ de cum a˜oo,sufixo par da forma ((q, a), p), ou tal δ(q, que δ(q, p, segundo asegundo fun¸ of ade c˜aoetransi¸ cde a˜o,transi¸ par cum a˜o,da um forma par da ((q,forma a), p), ((q, ou a), seja, p),seja, tal ou que seja, talcontrole a) que = a) δ(q, p, = indica =indica p,somente indica para (final) varre da palavra de entrada sem qualquer l´oa) gico, no estado o ler s´ımbolo a, oomato autˆ assume o estado p. p. que, que, no estado que, no q, estado aoq,leraooq, s´processamento. ao ımbolo oa,s´ımbolo o autˆ a, oomato autˆ assume omato o assume estado p. o estado terminar oler Podemos concluir, ent˜ao, que o autˆomato M aceita todas as palavras sobre o alfabeto Cada par ordenado ´eque tal aque primeira define o estado corrente o s´ Cada parCada ordenado ´e tal ´eaque tal primeira aouprimeira componente componente define o estado define ocorrente estado ecorrente o s´eımbolo eımbolo o s´ımbolo Σ =par {a,ordenado b} que possuem aa bb componente como subpalavra. lidofita, da e a segunda componente ´e o novo estado. lido da lidofita, e da a segunda fita, e a componente segunda componente ´e o novo ´estado. e o novo estado. inicial tal qque ∈ qQ. q0 - Estado Estado tal inicial que ∈ qQ. que q0 - Estado q0 -inicial Linguagem omato Finito 0definida 0tal 0 ∈ Q.por um Autˆ F - Conjunto de estados taispor F ⊆ FQ. F - Conjunto F - Conjunto deA estados definais, estados taisfinais, que Fque tais ⊆ que Q.autˆ ⊆ Q. finito M ´e o conjunto de todas as cadeias w sobre linguagem Lfinais, definida um omato ´ e dito estado final. O estado ´e qdito estado ´ e dito final. estado final. O estado O qf estado q Σ que levam M da sua configura¸ca˜o inicial para alguma configura¸ca˜o final por meio fo alfabeto f da aplica¸ca˜o sucessiva de transi¸co˜es definidas pela fun¸ca˜o δ. Podemos denotar esse conjunto da seguinte forma: 22 22 22 L(M ) = {w ∈ Σ∗ | δ(q0 , w) ∈ F } 24

Autômatos Finitos

V

Representa¸c˜ ao de um autˆ omato A Fun¸ca˜o de Transi¸ca˜o pode ser representada como um grafo orientado finito em que: • N´os representam estados do autˆomato (que s˜ao em n´ umero finito). • Arcos representam transi¸c˜ oes ou computa¸c˜ oes atˆ omicas (tamb´em em n´ umero finito). O programa do autˆomato ´e o conjunto de todas as transi¸c˜oes.

• q0 ´e o nodo destino de uma seta de origem, por ser o estado inicial. • qf (estado final) ´e representado de forma diferenciada, sendo o tra¸co da circunferˆencia do n´o mais forte ou duplo.

Representa¸c˜ao da Fun¸c˜ ao Programa como um grafo:

O processamento de um autˆomato finito M para uma palavra de entrada w consiste na sucessiva aplica¸c˜ao da Fun¸c˜ao de Transi¸c˜ao para cada s´ımbolo de w, da esquerda para direita, at´e ocorrer uma condi¸c˜ao de parada. Exemplos: Autˆ omato Finito 1) Consideremos o autˆomato finito M = ({a, b}, {q0 , q1 , q2 , qf }, δ, q0 , {qf }), em que: Σ = {a, b} Q = {q0 , q1 , q2 , qf } s˜ao os estados poss´ıveis δ : (Q × Σ) → Q ´e a fun¸ca˜o de transi¸ca˜o Q={qf } ´e o estado final, sendo a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ representada pela seguinte tabela:

23 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Representa¸c˜ao dos estados inicial e final como n´os de um grafo:

147

δ

a

b

q0

q1

q2

q1

qf

q2

q2

q1

qf

qf

qf

qf

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A ilustra¸ca˜o para esse autˆomato ´e:

Observemos que, relativamente ao estado q0 , podemos ter: • com origem no estado q0 , ao ler o s´ımbolo a, o autˆomato assume o estado q1 , o que podemos representar pelo par ordenado ((q0 , a), q1 ). • com origem no estado q0 , ao ler o s´ımbolo b, o autˆomato assume o estado q2 , o que podemos representar pelo par ordenado ((q0 , b), q2 ). O algoritmo apresentado usa os estados q1 e q2 para “memorizar” o s´ımbolo anterior. Assim, q1 representa “o s´ımbolo anterior ´e a” e q2 representa “o s´ımbolo anterior ´e b”. Ap´os identificar dois a ou dois b consecutivos ((aa) ou (bb)), o autˆomato assume o estado qf (final) e varre o sufixo da palavra de entrada sem qualquer controle l´ogico, somente para terminar o processamento. Podemos concluir, ent˜ao, que o autˆomato M aceita todas as palavras sobre o alfabeto Σ = {a, b} que possuem aa ou bb como subpalavra. Linguagem definida por um Autˆ omato Finito A linguagem L definida por um autˆomato finito M ´e o conjunto de todas as cadeias w sobre o alfabeto Σ que levam M da sua configura¸ca˜o inicial para alguma configura¸ca˜o final por meio da aplica¸ca˜o sucessiva de transi¸co˜es definidas pela fun¸ca˜o δ. Podemos denotar esse conjunto da seguinte forma: L(M ) = {w ∈ Σ∗ | δ(q0 , w) ∈ F } 24 Autômatos Finitos

V

Considerando o autˆomato M do exemplo 1, podemos citar algumas linguagens que M reconhece: • L1 = {aa, aaa, aaaa, ...} • L2 = {bb, bba, bbab, bbaaba, bbabb} • L3 = {abaa, abb, abba, abbb, aab} A figura abaixo ilustra o processamento do autˆomato M para a entrada w = baaab, a qual ´e aceita.

25 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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2) (Menezes, 2013, p.122) Considere M1 o autˆomato finito ilustrado na figura abaixo, o qual representa a interface “homem × m´aquina” de uma m´aquina de vendas de refrigerante, cigarro e doce.

149

Podemos observar que: Com origem no estado q0 , ao receber a informa¸ca˜o “moeda”, o autˆomato assume o estado q1 . No estado q1 , ao receber a informa¸c˜ao “tecla doce”, o autˆomato assume o estado q2 . Portanto, dependendo do estado corrente e da informa¸c˜ao lida, o autˆomato assume um novo estado. Traduzindo os itens acima como pares ordenados, obtem-se respectivamente: ((q0 , moeda), q1 ) e ((q1 , tecla− doce), q2 )

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. Assim, cada par ordenado acima ´e tal que: A primeira componente ´e um par ordenado, o qual define o estado corrente e a informa¸ca˜o lida; a segunda componente ´e o novo estado. Supondo que: Q = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 } Σ = {moeda, tecla− doce, tecla− cigarro, tecla− refri, libera− doce, libera− cigarro, libera− refri}, ent˜ao δ :Σ×Q→Q ´e a fun¸ca˜o programa (ou de transi¸c˜ao) do autˆomato M1 .

Restri¸c˜ ao de um autˆ omato finito Considerando o autˆomato finito M1 , vamos supor que se deseje uma nova m´aquina an´aloga a essa, mas sem as fun¸c˜oes relacionadas com cigarro. Para obter essa m´aquina, pode-se realizar a seguinte opera¸c˜ao de restri¸ca˜o: (δ \ Q × Σ0 ) : Q × Σ0 → Q em que: Σ0 ={moeda, tecla− doce, tecla− refri, libera− doce, libera− refri}. Pergunta: como ficaria o esquema do autˆomato para este operador restri¸c˜ao?

26 Autômatos Finitos

V

Rela¸ co ˜es e Banco de Dados

Matr.

Nome

147

Maria Lopes

Empregado Endere¸ co

Fun¸ c˜ ao

Sal´ ario

Dep.

R. Antonio Soop, 632

Secret´aria

1200,00

D1

086

Zilda P. Silva

R. Sibipiruna, 063

Aux. Admin.

1350,00

D3

204

Andr´e Teixeira

Av. Palmares, 1027

Engenheiro

7900,00

D1

213

Sˆonia Valadares

Av. Brasil, 3255

Engenheiro

8200,00

D2

136

Rog´erio Porto

R. Armando Costa, 147

T´ecnico

1950,00

D1

Podemos pensar nesta tabela como composta por seis conjuntos (tabelas): Matr´ıcula, Nome, Endere¸co, Fun¸c˜ao, Sal´ario e Departamento. Cada item destacado ´e um atributo de empregado, que seria a entidade, ou seja, o objeto importante no modelo. Os atributos representam as propriedades das entidades. Cada linha da tabela cont´em os valores dos 6 atributos de um elemento particular desse conjunto. Cada linha individual ´e chamada de tupla. A tabela relacional pode ser considerada um conjunto de linhas. De acordo com a ideia de teoria dos conjutnos, n˜ao existem tuplas duplicadas e n˜ao se tem ordem entre as tuplas. A ordem dos atributos tamb´em n˜ao ´e importante, mas cada coluna na tabela deve conter somente os valores de um atributo.

27 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Um banco de dados ´e um conjunto de informa¸co˜es associadas sobre algum empreendimento, cujo objetivo ´e atender a uma comunidade de usu´arios. Um banco de dados relacional ´e um banco de dados cujos dados s˜ao conjuntos (representados como tabelas) que s˜ao relacionados com outros conjuntos (tabelas). Cada tabela ter´a um nome, que ser´a u ´nico, e um conjunto de atributos com seus respectivos nomes e dom´ınios. Al´em disso, todos os valores de uma coluna s˜ao do mesmo tipo de dados. Exemplo: tabela de empregados de uma empresa

151

O n´ umero de atributos ´e chamado de grau da rela¸ca˜o. No exemplo, o grau da rela¸ca˜o “Empregado” ´e 6. O n´ umero de tuplas (linhas) ´e chamado de cardinalidade da rela¸c˜ao. Para o exemplo, a cardinalidade da rela¸c˜ao ´e 5. Mais formalmente, Gersting(2014, p.225) define uma rela¸c˜ao em um banco de dados como um subconjunto D1 × D2 × D3 × ... × Dn , em que Di ´e o dom´ınio do atributo Ai , ou seja, o conjunto no qual o atributo toma seus valores. O projeto de um banco de dados ´e geralmente realizado usando-se um modelo conceitual, que ´e a descri¸c˜ao do sistema proposto na forma de um conjunto de ideias e conceitos integrados

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a respeito do que o sistema deve fazer, como ele deve se comportar e como ele deve se parecer. O objetivo desse modelo ´e representar de forma abstrata, independente da implementa¸c˜ao em computador, os dados que ser˜ao armazenados no banco de dados. Um modelo conceitual frequentemente adotado ´e o diagrama entidade-relacionamento ou simplesmente diagrama E-R. Em um modelo E-R, retˆangulos denotam conjuntos de entidades; elipses denotam atributos e losangos denotam rela¸co˜es. Exemplos: 1) O diagrama entidade-rela¸c˜ao para a rela¸c˜ao Empregado ´e dada por:

2) Consideremos as seguinte informa¸co˜es sobre as entidades “Autom´ovel” e “Cliente”, de uma oficina mecˆanica que presta servi¸co para uma seguradora:

Autom´ovel Placa

Marca

Modelo

Chassi

Propriet.

Fabricante

Ano

AHC-3192

Gol

LX

3KG00324MH9

Jo˜ao da Silva

Volkswagem

2009

ASX-9634

Fiesta

SE

5GH00849MH9

Sueli Moraes

Ford

2011

AYB-1400

Focus

GLX

6JK00884MH8

Bruno Matos

Ford

2011

BFR-4798

Cruze

LT

2HF0035MH6

Diogo Furtado

Chevrolet

2013

28 Relações e Banco de Dados

V

Cliente Identidade

Nome

2345633-1-SP

Jo˜ao da Silva

Telefone

Cidade

Prudente de Moraes, 622 3267-3049

Endere¸ co

Maring´a

5846997-0-PR

Bruno Matos

Carlos Poppi, 1033

4712336-6-PR

Roberto Garcia

Herval, 1074

3246-1562

Maring´a

2458933-7-PE

Maria Gon¸calves ´ Alvaro Santos

Brasil, 3512

9964-2586

Apucarana

Jos´e C. Lucco, 391

9868-9114

Maring´a

0125444-9-MT

3233-8514 Mandaguari

Temos que as entidades s˜ao autom´oveis e clientes. Os autom´oveis tˆem os atributos placa; marca; modelo; chassi; propriet´ario; fabricante e ano, enquanto clientes tˆem os atributos identidade; nome; endere¸co; telefone e cidade. Podemos estabelecer a rela¸ca˜o “propriet´ario”, que indica que clientes s˜ao propriet´arios de autom´oveis. A rela¸ca˜o “´e propriet´ ario de” ´e uma rela¸ca˜o ou seja, cada cliente pode ter mais de um autom´ovel, mas cada autom´ovel ter´a somente um cliente cadastrado. Um diagrama E-R para a rela¸c˜ao Propriet´ario est´a apresentado a seguir:

O “1” e o “N” nos segmentos indicam que a rela¸c˜ao ´e bin´aria do tipo um para muitos (1:N). Em uma tabela relacional, um atributo ou uma combina¸ca˜o de atributos pode identificar de forma u ´nica uma tupla (linha) da tabela. Esse atributo determinante recebe o nome de chave prim´ aria ou Primary key (PK). 29 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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bin´aria de cliente para autom´ovel. Podemos dizer que essa rela¸ca˜o ´e do tipo um para muitos,

153

Cada tabela deve incluir um campo ou conjunto de campos que identifique de forma exclusiva, cada na tabela que se crie uma identifica¸ ca˜o u ´nica.de Se o exCadaregistro tabela armazenado deve incluir um campo para ou conjunto de campos que identifique forma subconjunto m´ ınimo de atributos que pode ser usado para identificar cada tupla de forma clusiva, cada registro armazenado na tabela para que se crie uma identifica¸ca˜o u ´nica. Se o u ´nica subconjunto cont´em mais m´ deınimo um atributo, temos uma chave prim´ a ria composta. de atributos que pode ser usado para identificar cada tupla de forma Para a rela¸ c˜aeom“Cliente” temosprim´ que aoria atributo Identidade ´e uma u ´nica cont´ mais de apresentada um atributo,anteriormente, temos uma chave composta. chave prim´ a ria, pois identifica de maneira u ´ nica cada tupla: Para a rela¸c˜ao “Cliente” apresentada anteriormente, temos que o atributo Identidade ´e uma chave prim´aria, pois identifica de maneira u ´nica cada tupla: Cliente (Identidade, Nome, End., Telefone, Cidade),

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Cliente (Identidade, Nome, End., Telefone, Cidade), em que o atributo destacado ´e a chave prim´aria. Quando uma rela¸ ca˜o existe´e mais de prim´ umaacombina¸ ca˜o de atributos possuindo a proem queem o atributo destacado a chave ria. priedade Quando de identifica¸ a˜o u ´nica, ao, temos chave candidata. A chave candidata em cuma rela¸ca˜ent˜ o existe mais uma de uma combina¸ ca˜o de atributos possuindo ´ea proapenaspriedade conceitual, ou seja, ela n˜ a o ´ e implementada. O que acontece ´ e que ela possui as mesmas de identifica¸ca˜o u ´nica, ent˜ao, temos uma chave candidata. A chave candidata ´e propriedades para ser chave prim´ a ria. Podemos citar Matr´ ıcula, CPF, RG e Titulo Eleitor apenas conceitual, ou seja, ela n˜ao ´e implementada. O que acontece ´e que ela possui as mesmas como propriedades exemplos de chaves candidatas. A chave candidata que n˜ a o ´ e prim´ a ria, ´ e chamada para ser chave prim´aria. Podemos citar Matr´ıcula, CPF, RG e TitulodeEleitor chave como alternativa. exemplos de chaves candidatas. A chave candidata que n˜ao ´e prim´aria, ´e chamada de Para a rela¸ ca˜o “autom´ovel”, temos que Placa e Chassi s˜ao chaves candidatas. Escolhe-se chave alternativa. para chave prim´ ria caquela com oovel”, atributo u ´nico menor n´ umero caracteres. Para a arela¸ a˜o “autom´ temos que ou Placa e Chassi s˜aodechaves candidatas. Escolhe-se para chave prim´aria aquela com o atributo u ´nico ou menor n´ umero de caracteres. Quando ´e necess´ario criar um atributo (um c´odigo de identifica¸c˜ao) para ser usado como chave prim´ aria, teremos uma invis´ ıvel. O(um nome justificado pelo cfato quesernenhum Quando ´e necess´ ariochave criar um atributo c´o´edigo de identifica¸ ˜ao) de para usado como usu´ario tem necessidade de vˆ e -la. chave prim´aria, teremos uma chave invis´ıvel. O nome ´e justificado pelo fato de que nenhum usu´ario tem necessidade de vˆe-la. Chave estrangeira ou Foreign key (FK) ´e o campo que estabelece o relacionamento entre duasChave tabelas.estrangeira Assim, um atributo (coluna) uma´e rela¸ ca˜o (tabela) corresponde `a mesma ou Foreign key de (FK) o campo que estabelece o relacionamento colunaentre que ´eduas a chave prim´ aria deum outra tabela. Dessa forma, na tabela que tabelas. Assim, atributo (coluna) de umadeve-se rela¸ca˜oespecificar (tabela) corresponde `a mesma cont´em a chave estrangeira quais s˜ a o essas colunas e a qual tabela est´ a relacionada. coluna que ´e a chave prim´aria de outra tabela. Dessa forma, deve-se especificar Onabanco tabela que de dados ir´ todos os campos fazem referˆeencias `a tabela aoa especificados. cont´ eamverificar a chave se estrangeira quais s˜aque o essas colunas a qual tabelaest˜ est´ relacionada. O banco A de chave estrangeira implementa em um banco dados ir´a verificar se todos oosrelacionamento campos que fazem referˆ enciasde`a dados tabelarelacional. est˜ao especificados. A chave estrangeira implementa o relacionamento em um banco de dados relacional. A integridade dos dados ´e feita por meio de restri¸c˜oes, que s˜ao condi¸c˜oes obrigat´orias impostas A pelo modelo. Pordos exemplo, apor o demeio chave ˜ao deve pelo orias integridade dadosa´erestri¸ feitac˜ deafirma restri¸cque ˜oes, toda que rela¸ s˜ao ccondi¸ c˜oesterobrigat´ menosimpostas uma chave prim´ a ria. pelo modelo. Por exemplo, a restri¸c˜ ao de chave afirma que toda rela¸c˜ao deve ter pelo menos uma chave prim´aria. #REFLITA# #REFLITA# Integridade da Entidade: nenhum valor de chave prim´aria pode ser nulo. Integridade da Entidade: nenhum valor de chave prim´aria pode ser nulo. Fonte: a autora. #FIM REFLITA# Fonte: a autora. #FIM REFLITA# 30 30 Relações e Banco de Dados

V

Exemplo 1: A rela¸ca˜o cliente-autom´ovel pode ser representada na rela¸ca˜o “Propriet´ ario”: Propriet´ario Identidade

Placa

2345633-1-SP

AHC-3192

5846997-0-PR

ASX-9634

4712336-6-PR

AYB-1400

0125444-9-MT

BFR-4798

Clientes que n˜ao tˆem autom´ovel, n˜ao est˜ao representados em Propriet´ ario. Exemplo 2: Se consideramos as seguintes tabelas:

Empregado CodigoEmp

Nome CodigoDepto CategFuncional CIC

ent˜ao, o atributo “CodigoDepto” da tabela “Empregado” ´e uma chave estrangeira em rela¸ca˜o `a chave prim´aria da tabela “Depto”. Exemplo 3: Considere o diagrama de banco de dados a seguir, com quatro tabelas relacionadas. Podemos observar a presen¸ca de chaves prim´arias (PK) e as chaves estrangeiras (FK).

31 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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Depto C´odigoDepto NomeDepto

155

Como IdCliente ´e uma chave estrangeira na rela¸ca˜o Animal, ent˜ao, as duas rela¸c˜oes podem ser combinadas usando uma opera¸c˜ao chamada jun¸c˜ ao externa baseada em IdCliente, formando a rela¸ca˜o Animal-Propriet´ario. Animal-Propriet´ario idCliente

idAnimal Nome Idade Sexo

idEsp´ecie

Opera¸c˜ oes nas rela¸ co ˜es

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Duas opera¸c˜oes un´arias que podem ser executadas em rela¸c˜oes s˜ao as opera¸co˜es de restri¸c˜ ao e de proje¸c˜ao. Proje¸c˜ ao: opera¸ca˜o que cria uma nova rela¸ca˜o formada pelas tuplas da rela¸ca˜o original que satisfazem uma determinada propriedade. Exemplo: Consideremos o seguinte esquema da base de dados relacional COMPANHIA e as respectivas tabelas das entidades Empregado; Departamento; Locais Depto; Projeto; Trabalha em e Dependente:

32 Relações e Banco de Dados

V

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Dispon´ıvel em: http://www.ime.usp.br/ jef/apostila.pdf

33

APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

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157

Consideremos, agora, a rela¸c˜ao “Depto-Local”, Locais− Depto pela jun¸c˜ao externa:

Depto-Loc DNome

DN´ umero

NSSger

333445555

Pesquisa

5

Pesquisa

5

333445555

Pesquisa

5

333445555

Administrativo

4

987654321

Gerencial

1

888665555

A opera¸ o agora, Restri¸ arela¸ o de ondeco Consideremos, agora, a rela¸c˜ao “Depto-Local”, combinando asc˜arela¸ c˜oes Departamento e Consideremos, ac˜ c˜aoDepto-Local “Depto-Local”, Depto-Houston resulta na rela¸ c a ˜ o Departamento-Ci Locais− Depto pela jun¸c˜ao externa: Depto pela jun¸ c ˜ a o externa: Locais− Depto-Cidade de Depto-Local

Depto-Local

DNome DatInicGerDNome PLocaliza¸ cDN´ ˜ ao umero

NSSger

D

DNome

DN´ umero

NSSger

Pesquisa

5

333445555

Pesquisa 22-mai-78 Pesquisa Bellaire

5

333445555

Pesquisa

5

333445555

Gerencial 22-mai-78 Pesquisa Sugariand

51

888665555 333445555

Pesquisa

5

333445555

22-mai-78 Pesquisa Houston

5

Administrativo

4

987654321

01-jan-85 Stafford Administrativo

4

333445555 34 987654321

Gerencial

1

888665555

19-jun-71 Gerencial Houston

1

888665555

A opera¸c˜ao Restri¸ c˜ ao de Depto-Local onde D-Localiza¸ c˜ aoc˜ao= Restri¸ “Houston” fornecendo A opera¸ c˜ ao de Depto-Local onde DDepto-Houston resulta na rela¸ca˜o Departamento-Cidade de Houston:resulta na rela¸ca˜o Departamento-Cidad Depto-Houston Depto-Cidade de Houston

Depto-Cidade de Ho

DNome

DN´ umero

NSSger

NSSger

Dat

Pesquisa

5

333445555

DatInicGer DNome PLocaliza¸ cDN´ ˜ ao umero 22-mai-78

Houston Pesquisa

5

333445555

22

Gerencial

1

888665555

19-jun-71

Houston Gerencial

1

888665555

19

34

34 Relações e Banco de Dados

V

Consideremos a rela¸ca˜o “Empregado” no banco de dados. A opera¸ca˜o proje¸ c˜ ao de EmpreConsideremos a rela¸ ca˜fornecendo o “Empregado” c˜ ao de Empregado sobre (NSS, Sal´ ario) Sal´ano riobanco ser´a: de dados. A opera¸ca˜o proje¸ gado sobre (NSS, Sal´ario) fornecendo Sal´ario ser´a: Sal´ario rio ario NSS Sal´aSal´ NSS Sal´ ario 123456789 3000 123456789 4000 3000 333445555 333445555 4000 999887777 2500 999887777 4300 2500 987654321 987654321 3800 4300 666884444 666884444 2500 3800 453453453 453453453 2500 987987987 2500

Como rela¸c˜oes s˜ao conjuntos de n-uplas, as opera¸co˜es bin´arias de uni˜ao, interse¸c˜ao e diferen¸ca rela¸cpodem ˜oes s˜aoser conjuntos de an-uplas, as copera¸ co˜estˆebin´ de uni˜ ao, interse¸ ˜ao e diferen¸ entre Como conjuntos aplicadas duas rela¸ ˜oes que m aarias mesma estrutura b´acsica. Para a ca entrec˜aconjuntos aplicadas a duas rela¸ c˜oesexemplo, que tˆemproduziria a mesma estrutura Para a interse¸ o de duas podem tabelasser com mesma estrutura, por uma rela¸cb´ a˜aosica. contendo interse¸ c ˜ a o de duas tabelas com mesma estrutura, por exemplo, produziria uma rela¸ c a ˜ o contendo todas as n-uplas comuns. todas as n-uplas A opera¸ ca˜o jun¸ccomuns. ˜ ao pode ser executada em duas tabelas com um atributo comum (coluna). A opera¸ a˜orestri¸ jun¸ cc˜ aa˜oo, proje¸ pode cser em duas com atributo comum (coluna). As opera¸ co˜es cde a˜o executada e jun¸c˜ao podem ser tabelas aplicadas emum diversas combina¸ c˜oes para As opera¸ c o ˜ es de restri¸ c a ˜ o, proje¸ c a ˜ o e jun¸ c ˜ a o podem ser aplicadas em diversas combina¸ c ˜oes para que um usu´ario possa pesquisar o banco de dados. que um usu´ario possa pesquisar o banco de dados.

# SAIBA MAIS# # SAIBA MAIS# N˜ao se pode questionar os benef´ıcios da tecnologia na ´area empresarial, como em tantas o se pode os benef´ ıcios das˜atecnologia natanto ´area em empresarial, em suas tantas outrasN˜ a´areas. Para questionar uma empresa, os clientes o diferentes, seu valor como como em outras a ´ reas. Para uma empresa, os clientes s˜ a o diferentes, tanto em seu valor como em suas necessidades, e o uso adequado de um banco de dados pode favorecer o atendimento do cliente necessidades, e o uso adequado de um banco de dados pode favorecer o atendimento do cliente com qualidade. Um banco de dados pode armazenar informa¸co˜es que poder˜ao oferecer dados com qualidade. dadose pode armazenar informa¸co˜es que poder˜ao oferecer dados valiosos a respeito Um dos banco clientesdeatuais em potencial. valiosos a respeito dos clientes atuais e em potencial. Para saber mais sobre a importˆancia do assunto nesta a´rea, leia o artigo Importˆ ancia do Para saber mais sobre a importˆ a ncia do nesta a´rea, leia o artigo Importˆ ancia do banco de dados para seu neg´ ocio, dispon´ıvel emassunto . Fonte: A autora. Fonte: A autora. #FIM SAIBA MAIS# #FIM SAIBA MAIS# 35 35 APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

987987987 5500 2500 888665555 888665555 5500

159

Considera¸ co ˜es Finais Encerramos esta u ´ltima unidade fazendo aplica¸co˜es de toda teoria matem´atica desenvolvida anteriormente na a´rea de computa¸ca˜o. Inicialmente, vimos que as linguagens formais (ou linguagens estruturadas em frases) podem ser vistas como conjuntos. Consequentemente, muito da teoria e dos principais resultados da a´rea de linguagens formais est´a baseado na ainda mais fundamental teoria dos conjuntos da matem´atica discreta. As linguagens de programa¸ca˜o s˜ao linguagem sobre um alfabeto predeterminado formado por letras, d´ıgitos e alguns s´ımbolos. Uma linguagem de programa¸c˜ao ´e definida por todos os seus programas poss´ıveis, ou seja, s˜ao conjuntos infinitos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Como aplica¸c˜ao de l´ogica, vimos o item Programa¸ca˜o L´ogica. Um programa em l´ogica ´e um modelo de um determinado problema ou situa¸c˜ao expresso por meio de um conjunto finito de senten¸cas l´ogicas. O ponto fundamental de Prolog consiste em identificar a no¸c˜ao de computa¸ca˜o com a no¸ca˜o de dedu¸c˜ao. Retomamos o assunto sobre conjuntos parcialmente ordenados e problemas de ordena¸c˜ao de tarefas relembrando o conceito de diagrama PERT e definindo caminho cr´ıtico para um diagrama. Um caminho cr´ıtico representa o tempo m´ınimo para se completar o projeto inteiro. Atrasos em alguma tarefa do caminho cr´ıtico acarretar˜ao atrasos no projeto. O conceito de rela¸c˜ao e fun¸ca˜o foi aplicado em autˆomatos, que s˜ao usados para verificar se uma palavra pertence ou n˜ao a uma linguagem. O mecanismo de controle de um elevador ´e um bom exemplo de um sistema de estados finitos (autˆomato). Vimos tamb´em que uma generaliza¸ca˜o de uma rela¸ca˜o bin´aria forma a base para um banco de dados relacional. ´ claro que as aplica¸c˜oes desta unidade foram desenvolvidas de maneira simples, com exempE los que permitiam a compreens˜ao do conceito, estabelecendo a rela¸ca˜o entre a teoria matem´atica e a computa¸ca˜o. Muitos t´opicos ser˜ao abordados posteriormente, em outras disciplinas, mas j´a fica claro que a teoria desenvolvida aqui ser´a de extrema importˆancia para a compreens˜ao de assuntos espec´ıficos do curso.

Atividades de Autoestudo 1) (Gersting, 2004) Um banco de dados Prolog cont´em os dados a seguir, onde patr˜ao(X, Y ) significa que “X ´e patr˜ao de Y ” e supervisor(X, Y ) significa que “X ´e supervisor de Y ”. patr˜ao(Miguel, Joana) patr˜ao(Judite, Miguel) patr˜ao(Anita, Judite) patr˜ao(Judite, Kim ) patr˜ao(Kim, Henrique) patr˜ao(Anita, Samuel) patr˜ao(Henrique, Jeferson) 36 Considerações Finais

e a computa¸ca˜o. Muitos t´opicos ser˜ao abordados posteriormente, em outras disciplinas, mas j´a fica claro que a teoria desenvolvida aqui ser´a de extrema importˆancia para a compreens˜ao de assuntos espec´ıficos do curso.

Atividades de Autoestudo 1) (Gersting, 2004) Um banco de dados Prolog cont´em os dados a seguir, onde patr˜ao(X, Y ) significa que “X ´e patr˜ao de Y ” e supervisor(X, Y ) significa que “X ´e supervisor de Y ”. patr˜ao(Miguel, Joana) patr˜ao(Judite, Miguel) patr˜ao(Anita, Judite) patr˜ao(Judite, Kim ) patr˜ao(Kim, Henrique) patr˜ao(Anita, Samuel) patr˜ao(Henrique, Jeferson) patr˜ao(Miguel, Hamal) 36 supervisor(X,Y):- patr˜ao(X,Y) supervisor(X,Y):- patr˜ao(X,Z), supervisor(Z,Y) Encontre os resultados das seguinte perguntas: a) ?patr˜ao(X, Samuel) b) ?patr˜ao(Judite, X) c) ?supervisor(Anita,X)

2) Considere o seguinte banco de dados: come(urso,peixe). come(peixe,peixinho). come(peixinho,alga). come(peixe,alga). come(urso,raposa). come(veado,grama). come(peixe,minhoca). come(urso,guaxinim). come(raposa,coelho). come(urso,veado). come(lince,veado). come(planta− carn´ıvora,mosca). come(veado,planta− carn´ıvora). animal(urso). animal(peixe). animal(raposa). animal(veado). animal(minhoca). animal(lince).

come(urso,veado). come(lince,veado). come(planta− carn´ıvora,mosca). come(veado,planta− carn´ıvora).

animal(urso). animal(peixe).

animal(raposa). animal(veado). animal(minhoca). animal(lince). animal(coelho). animal(guaxinim). animal(mosca). animal(peixinho). planta(grama). planta(alga). planta(planta− carn´ıvora). 37 • Encontre o resultado das seguintes perguntas: a) ?come(X, peixe) b) ?come(peixe, X) c) ?animal(X) d) ?come(X,Y), planta(Y) e) ?come(X,Y), come(Y, alga) • Observe a regra abaixo: Portuguˆes: Carn´ıvoro ´e quem come animal. L´ogica: (∀X)(∀Y )come(X, Y ) ∧ animal(Y ) → carn´ıvoro(X) Prolog: carn´ıvoro(X):-come(X,Y), animal(Y). Escreva as regras para definir os itens abaixo: f) herb´ıvoro: herb´ıvoro ´e quem come planta e n˜ao come animal. g) predador: predador ´e carn´ıvoro e tamb´em ´e animal. h) presa: presa ´e quem ´e comido por predador e tamb´em ´e animal. i) ca¸cado: ca¸cado ´e quem ´e presa. • Escreva as seguintes perguntas em Prolog: j) Peixe come peixinho e minhoca? l) Quais s˜ao as plantas? m) Quem ´e comido pelo urso? n) Quem come peixe? o) Quem ´e predador? p) Quem ´e predador e tamb´em presa?

161

i) ca¸cado: ca¸cado ´e quem ´e presa. • Escreva as seguintes perguntas em Prolog: j) Peixe come peixinho e minhoca? l) Quais s˜ao as plantas? m) Quem ´e comido pelo urso? n) Quem come peixe? o) Quem ´e predador? p) Quem ´e predador e tamb´em presa? q) Quem ´e presa e herb´ıvoro? Fonte: Crist´ov˜ao (2012).

3) Construa um diagrama PERT das tabelas de tarefas a seguir; calcule o tempo m´ınimo para complet´a-las e indique o caminho cr´ıtico: Tarefa

a)

Pr´e-requisitos38 Tempo para a Conclus˜ao

A

E

3

B

C, D

5

C

A

2

D

A

6

E

Nenhum

2

F

A, G

4

G

E

4

H

B, F

1

b) A tabela abaixo apresenta a sequˆencia de tarefas necess´arias para realizar o conserto de um torno que apresenta defeitos na a´rvore e na bomba de lubrifica¸ca˜o.

Tarefas

Descri¸ca˜o

Pr´e-requisitos Tempo para a Conclus˜ao

A

Retirar placa, prote¸c˜oes e esgotar o´leo

-

1h

B

Retirar ´arvore e transport´a-la

A

3h

C

Lavar cabe¸cote

A

2h

D

Trocar rolamentos

B

3h

E

Trocar reparo da bomba de lubrifica¸ca˜o

BeC

2h

F

Montar, abastecer e testar o conjunto

DeE

4h

4) Considerando o diagrama de rede abaixo, em que cada letra designa a atividade com a dura¸ca˜o dada na tabela abaixo, determinar o caminho cr´ıtico e o tempo m´ınimo para completar as tarefas. A

B

C

D

E

8 semanas

4 semanas

6 semanas

4 semanas

6 semanas

F

G

H

I

12 semanas 10 semanas 10 semanas 5 semanas

A

Retirar placa, prote¸c˜oes e esgotar o´leo

-

1h

B

Retirar ´arvore e transport´a-la

A

3h

C

Lavar cabe¸cote

A

2h

D

Trocar rolamentos

B

3h

E

Trocar reparo da bomba de lubrifica¸ca˜o

BeC

2h

F

Montar, abastecer e testar o conjunto

DeE

4h

4) Considerando o diagrama de rede abaixo, em que cada letra designa a atividade com a dura¸ca˜o dada na tabela abaixo, determinar o caminho cr´ıtico e o tempo m´ınimo para completar as tarefas. A

B

C

D

E

8 semanas

4 semanas

6 semanas

4 semanas

6 semanas

F

G

H

I

12 semanas 10 semanas 10 semanas 5 semanas

39

163

Leitura Complementar Integridade de Banco de Dados Informa¸co˜es novas podem ser inclu´ıdas em um banco de dados de tempos em tempos; informa¸co˜es obsoletas podem ser exclu´ıdas e mudan¸cas, ou atualiza¸co˜es, podem ser feitas em informa¸co˜es existentes. Em outras palavras, o banco de dados est´a sujeito a`s opera¸c˜oes de inclus˜ ao, exlus˜ ao e modifica¸ c˜ ao. Uma opera¸ca˜o de inclus˜ao pode ser efetuada criandose uma segunda tabela com a informa¸ca˜o nova e fazendo uma uni˜ao de conjuntos da tabela existente com a nova tabela. A exclus˜ao pode ser feita criando-se uma segunda tabela com a tuplas que devem ser apagadas e fazendo uma diferen¸ca entre conjuntos, retirando a tabela nova da tabela existente. A modifica¸ca˜o pode ser feita atrav´es de uma exclus˜ao (da tupla velha) seguida de uma inclus˜ao (da tupla modificada). Essas opera¸c˜oes tˆem que ser efetuadas de modo que a informa¸ca˜o no banco de dados permane¸ca correta e consistente, obedecendo a`s regras do neg´ocio. Fazer com que se cumpra trˆes regras de integridade ajuda. A integridade dos dados requer que os valores de um atributo perten¸cam, de fato, ao dom´ınio do atributo. Por exemplo, o atributo Estado tem que ser uma abrevia¸ca˜o v´alida de duas letras representando o Estado (ou o valor nulo). A integridade da entidade requer que nenhum componente de uma chave prim´aria seja nulo. Esta restri¸c˜ao simplesmente confirma que cada tupla tem que ter um valor em sua chave prim´aria para distingu´ı-la das outras, e que todos os atributos na chave prim´aria s˜ao necess´arios para identificar univocamente a tupla. A integridade referencial requer que quaisquer valores de chaves estrangeiras em outras rela¸co˜es sejam nulas ou tenham valores iguais aos das chaves prim´arias correspondentes nessas rela¸co˜es. A restri¸c˜ao de integridade referencial afeta tanto a inclus˜ao quanto a exclus˜ao (e portanto, a modifica¸c˜ao). Fonte: Gersting (2004).

Material Complementar: Livro Matem´ atica Discreta Para Computa¸ c˜ ao e Inform´ atica Vol.16 Autor: Paulo Blauth Menezes Editora: Bookman Sinopse: Apresenta os principais conceitos de matem´atica discreta, explicados e exemplificados. O conte´ udo ´e rigoroso, simples e ´ did´atico. E o livro-texto de Aprendendo matem´atica discreta com exerc´ıcios, volume 19 da mesma cole¸c˜ao.

40

165

CONCLUSÃO ˜

CONCLUSAO

Caros alunos, chegamos ao fim de mais uma etapa de estudos, concluindo a disciplina de Matem´atica I. Este livro apresentou alguns conceitos de matem´atica discreta de forma simples e acess´ıvel, mas com o devido cuidado com os aspectos matem´aticos formais e desenvolvimento do racioc´ınio. A Matem´atica discreta provˆe um conjunto de t´ecnicas para modelar problemas em Ciˆencia da Computa¸ca˜o. Tivemos oportunidade de conhecer ou aprofundar conhecimentos sobre l´ogica matem´atica; teoria dos conjuntos; rela¸co˜es e fun¸c˜oes. Dos t´opicos estudados, podemos citar alguns exemplos em Ciˆencia da Computa¸c˜ao: a parte de L´ogica (l´ogica proposicional e l´ogica de predicados) se aplica em banco de dados, circuitos integrados, inteligˆencia artificial, sistemas computacionais (hardware e software) e sistemas distribu´ıdos; Teoria dos Conjuntos se aplica em banco de dados, circuitos integrados, inteligˆencia artificial e sistemas distribu´ıdos; Fun¸co˜es tˆem aplica¸c˜ao em otimiza¸c˜ao e projeto de algoritmos, e Rela¸c˜oes s˜ao utilizadas em sistemas distribu´ıdos, autˆomatos e banco de dados. Sempre que poss´ıvel, os conceitos te´oricos apresentados foram aplicadas na a´rea de computa¸ca˜o, mas um cap´ıtulo foi inteiramente dedicado ao estudo de alguns casos aplicados a` computa¸ca˜o em variadas mat´erias e disciplinas: linguagem de programa¸c˜ao (procedimental e declarativa), banco de dados, linguagens formais e autˆomatos. Cabe lembrar que n˜ao era o objetivo do curso detalhar os conceitos espec´ıficos da a´rea, mas apresentar aplica¸c˜oes da teoria matem´atica estudada e oferecer instrumentos e recursos para que desenvolvam um vocabul´ario preciso, nota¸ca˜o matem´atica, abstra¸co˜es e racioc´ınio formal. Ap´os o estudo desta disciplina, espero que vocˆes sejam capazes de aplicar os conceitos b´asicos da matem´atica discreta como uma ferramenta, seja no estudo de outras disciplinas do curso, ou posteriomente, em sua a´rea de atua¸ca˜o, e que vocˆes possam enfrentar com grande naturalidade diversos estudos subsequentes, resultando em um aproveitamento muito mais efetivo do curso.

Muito sucesso! Prof.a Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

1

REFERÊNCIAS ABELHAS resolvem dilema da computação. Inovação Tecnológica. Disponível em http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=abelhas-resolvem-problema-caixeiro-viajante#.Vk35UW4afcc. Acesso em 14 jul. 2015. ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002. CRISTÓVÃO, H. M. Roteiro de Exercícios para Aula Prática de PROLOG. Disponível em: http://hudsoncosta.files.wordpress.com/2012/01/henriquecristovao-prolog_ roteiro_aula_pratica.pdf . Acesso em: 25 ago. 2015. DAGHLIAN, J. Lógica e Álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2012. FAJARDO, R. A. dos S. Lógica Matemática. Instituto de Matemática e Estatística – Universidade de São Paulo. Disponível em: www.ime.usp.br/~fajardo/logica.pdf. Acesso em 03 ago. 2015. FRANCO, V.; GERÔNIMO, J. R. Fundamentos de Matemática. Vol. 1. Lógica, Teoria dos Conjuntos, Relações e Funções. Maringá, 2001. GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um Tratamento Moderno de Matemática Discreta. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. GOMIDE, A.; STOLFI, J. Elementos de Matemática Discreta para Computação. Versão Preliminar. Disponível em: http://www.ic.unicamp.br/~stolfi/cursos/MC3582012-1-A/docs/apostila.pdf. Acesso em: 30 mar. 2015. JOHN Venn. Só Matemática. Disponível em: www.somatematica.com.br/biograf/ venn.php . Acesso em 25 mai. 2015. KMETEUK FILHO, O.; FÁVARO, S. Noções de Lógica e Matemática Básica. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2005. LEONARD Euler. Só Matemática. Disponível em: www.somatematica.com.br/biograf/euler.php. Acesso em 25 mai. 2015. LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. L. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. 2. ed. Porto alegre, Bookman, 2004. MENEZES, P. B. Matemática Discreta para Computação e Informática. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. MENEZES, P. B.; TOSCANI, L. V.; LÓPEZ, J. G. Aprendendo Matemática Discreta com Exercícios. Série Livros Didáticos, n. 19. Porto Alegre: Bookman, 2009. PINHO, A. A. Introdução à Lógica Matemática. Rio de Janeiro, 1999. Disponível em: ftp://ftp.ifes.edu.br/cursos/Matematica/Oscar/introducao_logica/Apostila%20 de%20Logica.pdf . Acesso em: 15 abr. 2015. RAMOS, Marcus Vinícius Midena. Linguagens Formais e Autômatos. Disponível em: http://www.univasf.edu.br/~marcus.ramos/lfa-2008-1/Apostila.pdf. Acesso em: 17 set. 2015.

167

169

GABARITO Gabarito Unidade I * Exerc´ıcio a) Disjun¸c˜ao: p ∨ q ≡∼ (∼ p∧ ∼ q) p V V F F 1

∨ q V V V F V V F F 3 1

∼ V V V F 4

↔ V V V V 5

(∼ p ∧ ∼ q) F F F F F V V F F V V V 2 3 2

Como p ∨ q ↔∼ (∼ p∧ ∼ q) ´e tautologia, segue que p ∨ q ≡∼ (∼ p∧ ∼ q). b) Condicional: p → q ≡∼ (p∧ ∼ q) p V V F F 1

→ q V V F F V V V F 3 1

↔ V V V V 5

∼ V F V V 4

∧ F V F F 3

(p V V F F 1

∼ q) F V F V 2

Como p → q ↔∼ (p∧ ∼ q) ´e tautologia, segue que p → q ≡∼ (p∧ ∼ q). c) Bicondicional: p ↔ q ≡∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q)) p ↔ V V V F F F F V 1 3

q V F V F 1

≡ V V V V 7

∼ V F F V 6

[∼ F V V V 4

(p V V F F 1

∧ q) V V F F F V F F 3 1

∧ ∼ F V V V V V F F 5 4

(∼ p ∧ ∼ q)] F F F F F V V F F V V V 2 3 2

Como p ↔ q ↔∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q)) ´e tautologia, segue que p ↔ q ≡∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q)). * Exerc´ıcio 1) p ⇒ p ∧ q p V V F F 1

→ V V V V 3

(p V V F F 1 1

∧ V V V F 2

q) V F V F 1

GABARITO

Como p → p ∧ q ´e tautologia, segue que p ⇒ p ∧ q. 2) a) p ∧ q ⇒ p (p V V F F 1

∧ V F F F 2

q) V F V F 1

→ V V V V 3

b) p ∧ q ⇒ q

p V V F F 1

(p V V F F 1

∧ q) V V F F F V F F 2 1

→ V V V V 3

q V F V F 1

3) (p → q) ∧ p ⇒ q (p V V F F 1

→ q) V V F F V V V F 2 1

∧ p V V F V F F F F 3 1

→ V V V V 2

q V F V F 1

Como [(p → q) ∧ p] → q ´e tautologia, segue que (p → q) ∧ p ⇒ q. 4) (p → q)∧ ∼ q ⇒∼ p (p V V F F 1

→ q) V V F F V V V F 3 1

∧ ∼q F F F V F F V V 4 2

→ V V V V 5

∼p F F V V 2

Como (p → q)∧ ∼ q →∼ p ´e tautologia, segue que (p → q)∧ ∼ q ⇒∼ p. 5) (p ∨ q)∧ ∼ p ⇒ q (p V V F F 1

∨ V V V F 3

∧ ∼p F F F F V V F V 4 2

q) V F V F 1

→ V V V V 5

q V F V F 1

Como (p ∨ q)∧ ∼ p → q ´e tautologia, segue que (p ∨ q)∧ ∼ p ⇒ q. 6) (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r)

2

171

GABARITO

(p V V V V F F F F 1

→ q) V V V V F F F F V V V V V F V F 2 1

∧ (q V V F V F F F F V V F V V F V F 3 1

→ r) V V F F V V V F V V F F V V V F 2 1

⇒ V V V V V V V V 4

→ V F V F V V V V 2

(p V V V V F F F F 1

r) V F V F V F V F 1

Como (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) ´e tautologia,segue que (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r). 7) p → F ⇒∼ p (p V F 1

→ F F F V F 3 1

→ V V 4

∼p F V 2

Como p → F →∼ p ´e tautologia, segue que p → F ⇒∼ p.

Atividades de Autoestudo 1) a) F, pois se V(q)=F, V(p ∧ q)=F. b) V, pois V (p ∨ q) = F ⇔ V (p) = F e V (q) = F. c) V, pois V (p ∧ q) = V ⇔ V (p) = V (q) = V. d) F, pois como V (p) = V , ent˜ao se V (q) = V teremos V (p → q) = V. e) F, pois V (p → q) = F quando V (p) = V e V (q) = F. f) V, pois V (p ↔ q) = V somente quando V (p) = V (q), e como V (p) = V , ent˜ao V(q) dever´a ser V para que p ↔ q seja V. 2) a) Seja P = [p ∧ (∼ q → q)]∨ ∼ [(r ↔∼ q) → (q∧ ∼ r)] [p F 1

∧ F 4

(∼ q F 2

→ q)] V V 3 1

∨ F 6

∼ F 5

[(r V 1

↔ F 3

Logo, V(P) = F.

3

∼ q) F 2

→ (q V V 4 1

∧ F 3

∼ r)] F 2

GABARITO

b) Seja Q = (p ∧ q)∨ ∼ s →∼ (q ↔∼ r). [(p F

∧ F

q) V

∨ ∼s V V

∼ V

→ V

(q V

↔ ∼ r) F F

Logo, V(Q)=V. c) Seja R = (p ∧ q → r) ∨ (∼ p ↔ q∨ ∼ r). ((p F

∧ F

q) V

→ r) V V

∨ V

(∼ p ↔ V V

(q V

∨ V

∼ r)) F

Logo, V(R)=V. d) Seja S =∼ (r → (∼ r → s)). ∼ F

(r V

→ (∼ r V F

→ s)) V F

Logo, V(S)=F. 3) a) Como a conjun¸ca˜o s´o e verdadeira quando as duas proposi¸co˜es envolvidas s˜ao veradeiras e V (∼ r) = F , ent˜ao, o valor l´ogico de (p ↔ q)∧ ∼ r ser´a F. b) Como V (p ∨ r) = V , segue que o valor l´ogico da condicional (p ∧ q) → (p ∨ r) ser´a V, pois a condicional sempre ´e verdadeira quando o consequente ´e V. c) A conjun¸ca˜o de duas proposi¸co˜es, quando uma delas ´e falsa, tem o valor l´ogico F. Logo, V (∼ p∧ ∼ r) = R, pois V (∼ r) = F , e, consequentemente, o valor da conjun¸ca˜o (p →∼ q) ∧ (∼ p∧ ∼ r) ser´a F. 4) - operador n˜ao-e ou nand: p  q =∼ (p ∧ q) (Nega¸ca˜o da conjun¸c˜ao) p V V F F

q pq V F F V V V F V

- operador n˜ao-ou ou nor: p  q =∼ (p ∨ q) (Nega¸ca˜o da disjun¸c˜ao) p V V F F

q pq V F F F V F F V

5) a) Linux n˜ao ´e software livre ou Pascal n˜ao ´e uma linguagem de programa¸ca˜o. 4

173

GABARITO

b) Existem homens que n˜ao s˜ao bons motoristas. c) T ´e um trap´ezio e T n˜ao ´e uma quadril´atero (Lembrar que ∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q). d) O processador n˜ao ´e r´apido ou a impressora n˜ao ´e lenta. e) O processador ´e r´apido e a impressora n˜ao ´e lenta. f) Todos os n´ umeros ´ımpares s˜ao m´ ultiplos de 2. g) Canta e n˜ao est´a vivo. h) Existe solu¸ca˜o de x2 − 6 = 0 que n˜ao ´e positiva. i) Todos os inteiros s˜ao ´ımpares e n˜ao s˜ao divis´ıveis por 5. j) Windows n˜ao ´e um editor de textos, ou Pascal ´e uma planilha eletrˆonica. 6) a) F, basta considerar x = 8 e y = 2, por exemplo. b) F, pois se x = 2, x.y ser´a um n´ umero par, ∀y. c) F. N˜ao existe um n´ umero x tal que seu quadrado ´e maior que qualquer n´ umero y ∈ R. d) V. Dado x, basta considerar y tal que x > y. 7) a) Consideremos as proposi¸co˜es: S: seguran¸ca ´e um problema. C: o controle ser´a aumentado. I: os neg´ocios na Internet ir˜ao aumentar. Podemos reescrever o argumento da seguinte forma: S→C (Hip´otese 1) ∼S→I (Hip´otese 2) ∼C→I (Tese ou conclus˜ao)

Devemos provar que (S → C) ∧ (∼ S → I) ⇒ (∼ C → I). 1. S → C 2. ∼ S → I 3. ∼ C →∼ S 4. ∼ C → I

(hip´otese) (hip´otese) (1, contrapositiva) (3, 2, transitividade)

b) Sejam as proposi¸co˜es: P: o produto ´e bom. C: o produto ganha o concurso. L: o l´ıder do grupo ´e culpado. E: a equipe fica contente.

5

GABARITO

O argumento P →C ∼P →L C→E ∼E L

pode ser reescrito em l´ogica proposicional como: (hip´otese 1) (hip´otese 2) (hip´otese 3) (hip´otese 4) (conclus˜ao)

Devemos provar que (P → C) ∧ (∼ P → L) ∧ (C → E)∧ ∼ E ⇒ L 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

P →C ∼P →L C→E ∼E ∼C ∼P L

(hip´otese) (hip´otese) (hip´otese) (hip´otese) (3, 4, Modus Tollens) (1, 5, Modus Tollens) (2, 6, Modus Ponens)

Unidade II * Exerc´ıcio Os conjuntos {a} e {{a}} s˜ao diferentes, pois o elemento de {a} ´e a, e o elemento de {{a}} ´e {a}. * Exerc´ıcio: A = {♥, ∗} e B = {1, 2} a) A × B × B = {(x, y, z); x ∈ A, y ∈ B e z ∈ B}

A×B ×B = {(♥, 1, 1), (♥, 1, 2), (♥, 2, 1), (♥, 2, 2), (∗, 1, 1), (∗, 1, 2), (∗, 2, 1), (∗, 2, 2)}.

b) (A × B) × B = (A × B × B), pois os elementos de (A × B) × B s˜ao pares ordenados e (A × B × B) ´e um conjunto de ternas ordenadas. * Exerc´ıcio: a)

b)

6

175

GABARITO

Atividades de Autoestudo 1) a) V

b) F

c) F

d) V

e) F

f) V

g) F

h) V

i) V

j) F (A ∩ B = B)

k) V (Se A = {x, y}, ent˜ao P (A) = {∅, {x}, {y}, {x, y}}. Logo, A ∩ P (A) = ∅.) 2) Sejam os conjuntos: C = {pessoas competentes}; E = {engenheiros} e P = {profissionais}.

Logo, alguns profissionais s˜ao competentes. Alternativa (a). 3) A = {a, 5, b}.

P (A) = {∅, {a}, {5}, {b}, {a, 5}, {a, b}, {5, b}, {a, 5, b}}.

A ⊂ P (A), pois os elementos de A n˜ao s˜ao elementos de P (A). A ∈ P (a), pois {a, 5, b} ´e um elemento de P (A).

4) B possui dois elementos: a e b. Logo, B = {a, b}. 5) B possui dois elementos: x e {x}. Logo, B = {x, {x}}. 6) A = {2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}; C = {2, 4, 5, 6, 11} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

a) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 11, 13} b) A ∩ B ∩ C = {2, 5} c) B ∩ C = {2, 5, 11} d) A − B = {4} 

e) B ∩ B = ∅ 

f) (A ∩ B) = {0, 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 7

GABARITO

g) C − B = {4, 6} 

h) (A ∩ B) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15} 

i) (B − A) ∩ (A − B) = {4} j) (B∩C)×A = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (11, 2), (11, 3), (11, 4), (11, 5)} 

k) A ∩ ∅ = ∅ l) (A ∩ C) ∪ ∅ = A ∩ C = {2, 4, 5} 7) a) X = {1, 3, 5}

b) Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) Y − X = {2, 4, 6, 7, 8} 8) a) F A palavra dois ∈ B mas ∈ / C. b) V c) V B ∩ C={x / x ´e palavra que aparece depois de “diploma” e tem mais de 5 letras}. d V 

B ∩ C = {x / x ´e palavra depois de “diploma” e tem 5 letras ou menos }. e) V A ∩ B ∩ C ={x / x ´e palavra depois de “diploma”; antes de “elefante”, e com mais de 5 letras}. f) V 

B = {x / x ´e palavra que aparece antes de “diploma” ou x ´e a palavra “diploma”}. g) F 

A = {x / x ´e a palavra “elefante” ou palavra que aparece depois de “elefante”}. 8

177

GABARITO

h) V A − B = {x / x ´e palavra que aparece antes de “elefante” e x n˜ao aparece depois de “diploma”}. 9)

a) b) A ⊕ B = {3, 4, 5, 8, 11}. c) A ⊕ A = ∅.

d) ∅ ⊕ A = A. 10 a) 8

b) 50 (34 Windows, 12 Unix e 4 Mac). c) 75 11) a) 208 b) 50 c) 88

Unidade III 1) • diagrama:

9

GABARITO

• matriz

R Am´erica EUA 1 China 0 Reino Unido 0 R´ ussia 0 Coreia do Sul 0 Alemanha 0 Fran¸ca 0

´ Asia 0 1 0 1 1 0 0

Europa 0 0 1 1 0 1 1

2) R 0 a) 1 3 4

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

3 1 0 1 0

4 1 0 1 0

b) c) DomR = {0, 3} ; ImR{1, 3, 4}. d) R ◦ R = {(0, 1), (0, 3), (0, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4)}. e) R−1 = {(1, 3), (3, 0), (3, 3), (4, 0), (4, 3)}. 3) a) (1, 4), (2, 4), (3, 3), (4, 1) b) (0, 2), (1, 3), (6, 8), (9, 11) c) (5, 0), (2, 2) 4) a) Um para muitos. b) Um para um. c) Muitos para um. d) Um para muitos. e) Um para muitos.

10

179

GABARITO

f) Muitos para muitos. 5)

a)

b)

c) 6) a) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e)} b) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (1, 3), (2, 5), (4, 6)} c) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)} 7) R a b c d e

a)

11

a 1 1 1 1 1

b 0 1 1 1 0

c d 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

e 0 0 0 1 1

GABARITO

R 1 2 3 4 6 8 12

b)

1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 1 0 0 0 0 0

3 1 0 1 0 0 0 0

4 1 1 0 1 0 0 0

6 1 1 1 0 1 0 0

8 1 1 0 1 0 1 0

12 1 1 1 1 1 0 1

8) a) • T´ıtulo-ISBN: um para um. • T´ıtulo-assunto: muitos para um. • Editora-assunto: muitos para muitos.

b) c) R ◦ S = {(Springtime Gardening, Natureza), (Springtime Gardening, Arte), (Early Tang Paintings, Arte), (Birds of Africa, Natureza), (Baskets for Today, Natureza),(Baskets for Today, Arte), (Autumn Annuals, Natureza), (Autumn Annuals, Arte)}. 9) a) R ´e irreflexiva (pois a caixa a n˜ao cabe dentro de si pr´opria); assim´etrica (pois se a cabe dentro de b), ent˜ao, b n˜ao cabe dentro de a e transitiva (se a cabe dentro de b e b cabe dentro de c, ent˜ao, a cabe dentro de c). b) i) R n˜ao ´e reflexiva, pois uma pessoa x n˜ao ´e prima de si mesma (x  Rx) (´e irreflexiva). R ´e sim´etrica, pois se x ´e primo de y, ent˜ao y ´e primo de x (xRy ⇒ yRx). R n˜ao ´e transitiva, pois se x ´e primo de y e y ´e primo de z, n˜ao implica que x ´e primo de z (xRy ∧ yRz  xRz). ii) R n˜ao ´e reflexiva, nem sim´etrica, nem transitiva. R ´e irreflexiva e assim´etrica. 12

181

GABARITO

10)

Unidade IV 1) a) Dom´ınio ={2, 4, 5, 6, 8} ; Contradom´ınio = {4, 5, 7, 8, 9} e Imagem ={4, 7, 8}. b) 7; 4 c) 6; 8 d) N˜ao ´e injetora, pois dois elementos distintos do dom´ınio tem a mesma imagem: por exemplo, 6 e 8 tem imagem 7. N˜ao ´e sobrejetora, pois o elemento 5 do contradom´ınio, n˜ao ´e imagem de elemento algum do dom´ınio. 2) a) R1 = {(3, 2), (8, 3), (15, 4), (24, 5)}. b) R2 = {(4, 3), (9, 8)}. ´nico c) R1 ´e fun¸c˜ao de A em B, pois a cada elemento do conjunto A, est´a associado um u elemento do conjunto B. Imagem = {2, 3, 4, 5}. d) R2 n˜ao ´e uma fun¸c˜ao de B em A, pois existem elementos de B que n˜ao est˜ao associados a elementos de A. 3) a) -13 b) 15 c) 3 d) 18 e) 5 − 6x f) 15 − 6x g) 4x − 5 13

GABARITO

h) 9x 4) a) f −1 (x) = b) f −1 (x) = c) f −1 (x) =

x 5 √ 3

x

3x − 7 2

5) a) h(f (−6, 4)) = h(−7) = 98 b) 81 c) 4

Unidade V 1) a) Anita b) Miguel Kim c) Judite Samuel Miguel Kim 2) a) urso b) peixinho alga minhoca c) urso peixe raposa veado minhoca lince coelho guaxinim mosca peixinho

14

h) 9x GABARITO

183

d) peixinho alga 4)peixe alga veado gramaalga d) peixinho −1 plantax carn´ ıvora (x) alga = − a)veado fpeixe d) peixinho alga5 veado grama e) urso −1peixe alga= √ 3 x carn´ıvora (x) b)peixe fveado planta veado grama − f) herb´ıvoro(X):= planta(Y), \+ carn´ıvoro(X) (para regras prolog, \ + a indica 3x −come(X,Y), 7ıvora −1 planta − carn´ e)nega¸ urso h) (x) c)aveado f9x ca˜peixe o=de a,2 ou seja , ∼ a) e) urso peixe f) herb´ ıvoro(X):= come(X,Y), planta(Y), \+ carn´ıvoro(X) (para regras prolog, \ + a indica g) predador(X):= carn´ ıvoro(X), animal(X) a nega¸ca˜o de a, ou seja , ∼ a) 4) 5) f) herb´ıvoro(X):= come(X,Y), planta(Y), \+ carn´ıvoro(X) (para regras prolog, \ + a indica h) presa(X):= come(Y,X), predador(Y), animal(X) ca˜o dex a, ou carn´ seja ıvoro(X), ,∼ −1 (−6, predador(X):= a)ag)nega¸ = 98a) animal(X) (x) =4)) = h(−7) fh(f 5 i) ca¸ cado:= alga presa(X) d) peixinho g) b)predador(X):= carn´ıvoro(X), animal(X) animal(X) h)81presa(X):= come(Y,X), predador(Y), 3 alga= √ x b)peixe f −1 (x) j) ?come(peixe, peixinho), come(peixe, minhoca) veado h) c)presa(X):= predador(Y), animal(X) i)4ca¸cgrama ado:=come(Y,X), presa(X) 3x − 7 veado planta = − carn´ıvora f −1 (x) l) c)?planta(X) i) ca¸ presa(X) 2 peixinho), come(peixe, minhoca) j)cado:= ?come(peixe, e) urso peixe Unidade V m) ?come(urso, X) j) ?come(peixe, l) ?planta(X)peixinho), come(peixe, minhoca) 5)herb´ f) 1) ıvoro(X):= n) ?come(X, peixe)come(X,Y), planta(Y), \+ carn´ıvoro(X) (para regras prolog, \ + a indica l) m) ?planta(X) a nega¸ c a ˜ o ou seja = ,∼ ?come(urso, a) h(f (−6, de 4))a,=X) h(−7) 98a) Anita o) a)?predador(X) m) ?come(urso, g) b)predador(X):= carn´ıvoro(X), animal(X) n)81?come(X,X) peixe) Miguel predador(X) p) b)?presa(X), n) presa(X):= ?come(X, peixe) h) come(Y,X), predador(Y), animal(X) c)o)Kim 4?predador(X) q) ? presa(X), herb´ıvoro(X) o) i) c)?predador(X) ca¸ ado:= presa(X) p)cJudite ?presa(X), predador(X) Unidade SamuelV p) ?presa(X), predador(X) j) ?come(peixe, peixinho), come(peixe, minhoca) q)Miguel ? presa(X), herb´ıvoro(X) 1) Kim q) presa(X), herb´ıvoro(X) l) ??planta(X) a) Anita m) ?come(urso, X) Tempo m´ınimo: 17 unidades de tempo; 2) Miguel 3) b) caminho cr´ıtico: E, A, D, B, H. n) ?come(X, peixe) Kim a) urso Tempo m´ınimo: 17 unidades de tempo; 3)Judite o) c)?predador(X) caminho cr´ıtico: E, A, D, B, H. b) peixinho Tempo m´ınimo: 17 unidades de tempo; 3) Samuel alga p) ?presa(X), predador(X) caminho cr´ıtico: E, A, D, B, H. Miguel minhoca Kim cr´ıtico: 4) Caminho A, C, H; tempo m´ınimo: 24 semanas. q) ? presa(X), herb´ıvoro(X) c) urso peixe m´ınimo: 24 semanas. D(3) 2)4) Caminho cr´ıtico: A, C, H; tempo raposa 4) Caminho C, H; tempo m´ınimo: 24 semanas. F(4) veado cr´ıtico: A,B(3) a) urso minhoca b) peixinho lince Tempo m´ınimo: 17 unidades de tempo; 3) algaA(1) E(2) coelho caminho cr´ıtico: E, A, D, B, H. minhoca guaxinim mosca C(2) c) urso peixinho peixe raposa 4) Caminho veado cr´ıtico: A, C, H; tempo m´ınimo: 24 semanas. 14 minhoca lince 15 coelho guaxinim 15 mosca peixinho 15

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